Формула Єнсена

Формула Єнсена є твердженням у комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної в крузі функції в залежності від модулів нулів цієї функції. Твердження є важливим зокрема при вивченні цілих функцій.

Твердження

Нехай $f$ є голоморфною функцією в області комплексної площини, що містить замкнутий круг ${\overline {D(0,r)}}$ з центром 0 і радіусом r і $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{N}$ нулі $f$ в ${\overline {D(0,r)}}$, враховуючи їх кратність. Якщо $f(0)$ не є рівним нулю, то

$\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{N}\log \left({\frac {r}{|\alpha _{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta .$

Еквівалентно якщо $n(r)$ позначає кількість нулів функції $f$ строго менших за модулем $r$, то

$\log |f(0)|+\int _{0}^{r}{\frac {n(s)}{s}}~\mathrm {d} s={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta .$

Доведення

• Припустимо спершу, що функція $f$ не має нулів у ${\overline {D(0,r)}}$. У цьому випадку вона не має нулів у $D(0,r+\varepsilon )$ для деякого малого $\varepsilon$. Оскільки $D(0,r+\varepsilon )$ є однозв'язною і $f$ не є рівною нулю, то існує функція $g$, що є голоморфною в $D(0,r+\varepsilon )$, така що $f=e^{g}$. Тому функція $\log(|f|)=\mathrm {Re} (g)$, дійсна частина голоморфної функції, є гармонічною в $D(0,r+\varepsilon )$. Зокрема вона є гармонічною в $D(0,r)$ і неперервною в ${\overline {D(0,r)}}$. Згідно властивості середнього значення:$\log(|f(0)|)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(|f(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta .$Це завершує першу частину доведення.
• Припустимо що функція $f$ має нулі в ${\overline {D(0,r)}}$, пронумеровані в такий спосіб: :$|\alpha _{1}|\leq \ldots \leq |\alpha _{m}|<r,\quad |\alpha _{m+1}|=\ldots =|\alpha _{N}|=r.$Позначимо$g(z)=f(z)\times \prod _{n=1}^{m}{\frac {r^{2}-{\overline {\alpha _{n}}}z}{r(\alpha _{n}-z)}}\times \prod _{n=m+1}^{N}{\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n}-z}}.$Функція $g$ є голоморфною в $D(0,r+\varepsilon )$ і не рівною нулю в ${\overline {D(0,r)}}$. Згідно першої частини доведення: ${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(|g(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta =\log(|g(0)|)=\log(|f(0)|)+\sum _{n=1}^{N}\log \left(\left|{\frac {r}{\alpha _{n}}}\right|\right).$ Тому для завершення доведення достатньо показати, що $\int _{0}^{2\pi }\log(|g(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }\log(|f(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta$. Оскільки $\int _{0}^{2\pi }\log(|g(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }\log(|f(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta +\sum _{n=1}^{m}\int _{0}^{2\pi }\log(1)~\mathrm {d} \theta -\sum _{n=m+1}^{N}\int _{0}^{2\pi }\log \left(\left|1-e^{\mathrm {i} \theta }{\overline {\alpha _{n}}}/r\right|\right)~\mathrm {d} \theta$ і, позначивши $\alpha _{n}=re^{\mathrm {i} \theta _{n}}$ отримуємо:$\int _{0}^{2\pi }\log \left(\left|1-e^{\mathrm {i} \theta }{\overline {\alpha _{n}}}/r\right|\right)~\mathrm {d} \theta =\int _{-\theta _{n}}^{2\pi -\theta _{n}}\log(|1-e^{\mathrm {i} u}|)~\mathrm {d} u=\int _{0}^{2\pi }\log(|1-e^{\mathrm {i} v}|)~\mathrm {d} v=0$тож$\int _{0}^{2\pi }\log(|g(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }\log(|f(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta ,$, що завершує доведення.

Застосування

• Фундаментальна теорема алгебри

Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня $k$ має $k$ коренів, враховуючи кратність.

Для теореми існує кілька доведень з використанням ідей комплексного аналізу. Зокрема для доведення можна використати формулу Єнсена.

Нехай маємо многочлен $P(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{k}X^{k}$ де $a_{k}$ не дорівнює нулю. Припустимо також, що $a_{0}$ не дорівнює нулю. Відображення $z\mapsto P(z)$ є цілою функцією (тобто голоморфною в $\mathbb {C}$). Для великих за модулем комплексних чисел маємо $P(z)\sim a_{k}z^{k}$. Згідно з класичними методами порівняння розбіжних інтегралів маємо:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |P(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta \sim k\log r.$

Многочлен степеня $k$ в $\mathbb {C}$ має щонайбільше k комплексних коренів, враховуючи кратність. Тоді кількість коренів у крузі $n(r)$ для достатньо великих $r$ є константою, рівною кількості коренів многочлена $n_{0}$. Згідно з формулою Єнсена

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |P(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta =\log |P(0)|+\int _{0}^{r}{\frac {n(s)}{s}}~\mathrm {d} s=n_{0}\log r+{\text{Constante}}.$

Після порівняння двох еквівалентностей $n_{0}=k$. Тобто многочлен $P$ має $k$ коренів, враховуючи кратність.

• Формула Єнсена використовується для оцінення кількості нулів голоморфних функцій. А саме, якщо f є голоморфною в крузі радіуса R з центром у точці z₀ і якщо |f| є обмеженою числом M на межі круга, тоді кількість нулів f у крузі радіуса r<R з центром у цій же точці z₀ не перевищує

${\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.$

Формула Єнсена є важливою у вивченні розподілу значень цілих і мероморфних функцій, зокрема теорії Неванлінни.

• Формула Єнсена для многочленів однієї змінної дозволяє обчислити міру Малера многочлена, тобто добуток коренів многочлена з модулем більшим 1.

Узагальнення

Мероморфні функції

Формулу Єнсена можна узагальнити для мероморфних функцій у $D$. Припустимо, що

$f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},$

де g і h є голоморфними у $D$, з нулями у точках $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} \backslash \{0\}$ і $b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} \backslash \{0\}$ відповідно. Формула Єнсена для мероморфних функцій має вид

$\log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .$

Формула Пуассона — Єнсена

Формула Єнсена є наслідком більш загальної формули Пуассона — Єнсена, яка натомість випливає з формули Єнсена за допомогою перетворення Мебіуса застосованого до z. Цю формулу вперше вивів Рольф Неванлінна. Якщо функція f є голоморфою в одиничному крузі, з нулями a₁, a₂, ..., a_n розміщеними всередині одиничного круга, то для кожного $z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}$ в одиничному крузі формула Пуассона — Єнсена має вигляд

$\log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .$

Тут,

$P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }$

є ядром Пуассона в одиничному крузі. Якщо функція f не має нулів в одиничному крузі, то формула Пуассона — Єнсена зводиться до

$\log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta ,$

тобто до інтегральної формули Пуассона для гармонічної функції $\log |f(z)|$.

Література

• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X