Формула Єнсена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Формула Єнсена є твердженням у комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної в крузі функції в залежності від модулів нулів цієї функції. Твердження є важливим зокрема при вивченні цілих функцій.

Твердження[ред. | ред. код]

Нехай є голоморфною функцією в області комплексної площини, що містить замкнутий круг з центром 0 і радіусом r і нулі в , враховуючи їх кратність. Якщо не є рівним нулю, то

Еквівалентно якщо позначає кількість нулів функції строго менших за модулем , то

Доведення[ред. | ред. код]

  • Припустимо спершу, що функція не має нулів у . У цьому випадку вона не має нулів у для деякого малого . Оскільки є однозв'язною і не є рівною нулю, то існує функція , що є голоморфною в , така що . Тому функція , дійсна частина голоморфної функції, є гармонічною в . Зокрема вона є гармонічною в і неперервною в . Згідно властивості середнього значення:
    Це завершує першу частину доведення.
  • Припустимо що функція має нулі в , пронумеровані в такий спосіб: :
    Позначимо
    Функція є голоморфною в і не рівною нулю в . Згідно першої частини доведення:
    Тому для завершення доведення достатньо показати, що . Оскільки
    і, позначивши отримуємо:
    тож
    , що завершує доведення.

Застосування[ред. | ред. код]

  • Фундаментальна теорема алгебри
Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня має коренів, враховуючи кратність.
Для теореми існує кілька доведень з використанням ідей комплексного аналізу. Зокрема для доведення можна використати формулу Єнсена.
Нехай маємо многочлен де не дорівнює нулю. Припустимо також, що не дорівнює нулю. Відображення є цілою функцією (тобто голоморфною в ). Для великих за модулем комплексних чисел маємо . Згідно з класичними методами порівняння розбіжних інтегралів маємо:
Многочлен степеня в має щонайбільше k комплексних коренів, враховуючи кратність. Тоді кількість коренів у крузі для достатньо великих є константою, рівною кількості коренів многочлена . Згідно з формулою Єнсена
Після порівняння двох еквівалентностей . Тобто многочлен має коренів, враховуючи кратність.
  • Формула Єнсена використовується для оцінення кількості нулів голоморфних функцій. А саме, якщо f є голоморфною в крузі радіуса R з центром у точці z0 і якщо |f| є обмеженою числом M на межі круга, тоді кількість нулів f у крузі радіуса r<R з центром у цій же точці z0 не перевищує
Формула Єнсена є важливою у вивченні розподілу значень цілих і мероморфних функцій, зокрема теорії Неванлінни.
  • Формула Єнсена для многочленів однієї змінної дозволяє обчислити міру Малера многочлена, тобто добуток коренів многочлена з модулем більшим 1.

Узагальнення[ред. | ред. код]

Мероморфні функції[ред. | ред. код]

Формулу Єнсена можна узагальнити для мероморфних функцій у . Припустимо, що

де g і h є голоморфними у , з нулями у точках і відповідно. Формула Єнсена для мероморфних функцій має вид

Формула Пуассона — Єнсена[ред. | ред. код]

Формула Єнсена є наслідком більш загальної формули Пуассона — Єнсена, яка натомість випливає з формули Єнсена за допомогою перетворення Мебіуса застосованого до z. Цю формулу вперше вивів Рольф Неванлінна. Якщо функція f є голоморфою в одиничному крузі, з нулями a1a2, ..., an розміщеними всередині одиничного круга, то для кожного в одиничному крузі формула Пуассона — Єнсена має вигляд

Тут,

є ядром Пуассона в одиничному крузі. Якщо функція f не має нулів в одиничному крузі, то формула Пуассона — Єнсена зводиться до

тобто до інтегральної формули Пуассона для гармонічної функції .

Література[ред. | ред. код]

  • Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2905-X.