Формула Валліса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формула Валліса, виведена 1655 року Джоном Валлісом, стверджує:

 
\prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}.

Винайдення[ред.ред. код]

Валліс вивів нескінченний добуток методом порівняння визначених інтегралів  \int_0^\pi \sin^nxdx для парних і непарних n, як показано нижче. Оскільки на той час математичний аналіз, зокрема теорія збіжності, не мав достатнього розвитку і не було відомо про його зв'язок із площами фігур, дослідження вважалося складним і незавершеним. Як згодом виявилось, формула Валліса є простим наслідком формули Ейлера для синуса.

Доведення через розклад синуса в нескінченний добуток[1][ред.ред. код]

\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

Нехай x = π/2:


\Rightarrow\frac{2}{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right)
\begin{align}
\Rightarrow\frac{\pi}{2} &{}= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\
&{}= \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots
\end{align}

Доведення через інтегрування[2][ред.ред. код]

Нехай:

I(n)=\int_0^\pi \sin^nxdx
u=\sin^{n-1}x \Rightarrow du=(n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx
dv=\sin x dx \Rightarrow v=-\cos x


\Rightarrow I(n)=\int_0^\pi \sin^nxdx=\int_0^\pi u dv
=uv |_{x=0}^{x=\pi}-\int_0^\pi v du
=0-(n-1) \int_0^\pi -\cos^2x \sin^{n-2}x dx, n>1
=(n-1) \int_0^\pi (1-\sin^2 x) \sin^{n-2}x dx
=(n-1) I(n-2)-(n-1) I(n)


I(n)=(n-1) I(n-2)-(n-1) I(n)
\Rightarrow I(n)=\frac{n-1}{n} I(n-2)


I(1)=\int_0^\pi \sin xdx=-\cos x|_0^\pi=(-\cos \pi)-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2
I(0)=\int_0^\pi dx=x|_0^\pi=\pi


I(2n+1)=\int_0^\pi \sin^{2n+1}xdx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)

Повторюючи,

=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \cdots \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} I(1)=2 \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}


I(2n)=\int_0^\pi \sin^{2n}xdx=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)=\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)

Повторюючи,

=\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdot \cdots \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I(0)=\pi \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}


\sin^{2n+1}x \le \sin^{2n}x \le \sin^{2n-1}x, 0 \le x \le \pi
\Rightarrow I(2n+1) \le I(2n) \le I(2n-1)
\Rightarrow 1 \le \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}

За теоремою про три послідовності:

\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1


\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \prod_{k=1}^n \left(\frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k}\right)=1
\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty \left(\frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1}\right)=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \cdots

Посилання[ред.ред. код]