Формула Ейлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Геометрична інтерпретація формули Ейлера

Формула Ейлера — співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа виконується рівність:

,

де основа натурального логарифма,

уявна одиниця.

Формула залишається вірною також для комплексного аргументу .

Відома тотожність Ейлера, що пов'язує п'ять фундаментальних математичних констант:

є частковим випадком формули Ейлера при .

Історія[ред.ред. код]

Формула Ейлера вперше була доведена Роджером Котсом у 1714 році в логарифмічній формі:

.

Ейлер опублікував формулу у її звичному вигляді в 1748 році, збудував доведення за допомогою розкладу правої та лівої частини у степеневі ряди. Ані Ейлер, ані Котс не уявляли собі геометричної інтерпретації формули: представлення комплексних чисел як точок на комплексній площині з'явилося приблизно на 50 років пізніше.

Похідні формули[ред.ред. код]

За допомогою формули Ейлера можна представити функції sin та cos у вигляді:

,
.

Можна ввести поняття тригонометричних функцій комплексної змінної, які добре відомі під назвою гіперболічні функції. Підставляючи , отримуємо:

,
.

Застосування в комплексному аналізі[ред.ред. код]

Завдяки формулі Ейлера з'явились так звані тригонометрична та показникова форма запису комплексного числа: .

Наступним важливим наслідком є формули піднесення комплексного числа до довільної степені:

, .

Остання формула має просту геометричну інтерпретацію: при піднесенні числа до степені його відстань від початку системи координат підноситься до степені , а кут повороту від осі збільшується в раз.

Формула вірна не лише для цілих , але й для дійсних його значень. Зокрема, комплексна форма запису числа дозволяє знаходити корені довільної степені з комплексних чисел, що використовується в доведенні основної теореми алгебри: «Многочлен степені має рівно комплексних коренів».

Доведення[ред.ред. код]

Доведення формули Ейлера є достатньо простим. Розклавши функцію у ряд Тейлора за степенями отримуємо:

Оскільки

,
,

то

Q.E.D.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.