Формула Ейлера — Маклорена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, формула Ейлера — Маклорена визначає тісний зв'язок між інтегралами і рядами. Названа на честь швейцарського математика Леонарда Ейлера і шотландського математика Коліна Маклорена.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай p і q два цілих числа. Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку , функції :

де :

В даних формулах позначає i-ий многочлен Бернуллі, періодизований многочлен Бернуллі. Числа bi позначають числа Бернуллі : b1 = −1/2, b2 = 1/6, b3 = 0, b4 = −1/30, b5 = 0, b6 = 1/42, b7 = 0, b8 = −1/30.

Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.

Доведення[ред.ред. код]

Достатньо довести справедливість для інтервалу де  ; загальна формула одержується за допомогою сумування.

Нехай g — функція неперервно диференційовна на інтервалі . Використовуючи властивість многочленів Бернуллі : , одержуємо з інтегрування частинами :

Оскільки для , виконується , одержуємо :

Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи , одержується :

З властивості : , одержується :

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Цегелик Г.Г. Чисельні методи. – Львів: Видавничий центр Львівського національного університету, 2004. – 408 с
  • Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9