Формула Ейлера — Маклорена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, формула Ейлера — Маклорена визначає тісний зв'язок між інтегралами і рядами. Названа на честь швейцарського математика Леонарда Ейлера і шотландського математика Коліна Маклорена.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай p і q два цілих числа. Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку [p,q], функції :

\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{j=p+1}^{q-1}f\left(
j\right) =\int_p^q f(x)\,dx
+\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_k

де :

 R_k = - \int_p^q f^{(2k)}(x) {B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor) \over (2k)!}\,dx,

В даних формулах B_i позначає i-ий многочлен Бернуллі, B_i(x-\lfloor x \rfloor) періодизований многочлен Бернуллі. Числа bi позначають числа Бернуллі : b1 = −1/2, b2 = 1/6, b3 = 0, b4 = −1/30, b5 = 0, b6 = 1/42, b7 = 0, b8 = −1/30.

Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.

Доведення[ред.ред. код]

Достатньо довести справедливість для інтервалу [n,n+1] де n \in \mathbb{Z}  ; загальна формула одержується за допомогою сумування.

Нехай g — функція неперервно диференційовна на інтервалі [n,n+1] . Використовуючи властивість многочленів Бернуллі :  \forall k \in \mathbb{N} B_{k+1}' = \left(k+1\right) B_{k} , одержуємо з інтегрування частинами :

\int_n^{n+1} g \left( t \right) B_k \left( t-n \right) dt = \left[ \frac{g \left( t \right) B_{k+1} \left( t-n \right)}{k+1} \right]_n^{n+1} - \frac{1}{k+1} \int_n^{n+1} g' \left( t \right) B_{k+1} \left( t-n \right) dt

Оскільки для  k \ge 2 , виконується B_k \left( 1 \right) = B_k \left( 0 \right) = b_k , одержуємо :

\int_n^{n+1} g \left( t \right) B_k \left( t-n \right) dt = \frac{b_{k+1}}{k+1} \left( g \left( n+1 \right) - g \left( n \right) \right) - \frac{1}{k+1} \int_n^{n+1} g'\left( t\right) B_{k+1} \left( t-n \right) dt

Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи g = f^{(2p)}, одержується :

\int_n^{n+1} f \left( t \right)  dt = \frac{f\left( n\right) +f\left( n+1\right) }{2}+\sum_{k=2}^{2p} \frac{\left( -1 \right)^{k-1} b_k}{k!} \left( f^{(k-1)}\left(n+1\right) - f^{(k-1)}\left(n\right) \right) + \frac{1}{(2p)!} \int_n^{n+1} f^{(2p)} \left( t\right) B_{2p} \left( t-n \right) dt

З властивості : \forall k \ge 1 , b_{2k+1} = 0 , одержується :

\int_n^{n+1} f \left( t \right)  dt = \frac{f\left( n\right) +f\left( n+1\right) }{2}+\sum_{k=2}^{\lfloor \frac{p}{2} \rfloor} \frac{b_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}\left(n+1\right) - f^{(2k-1)}\left(n\right) \right) + \frac{1}{(2p)!} \int_n^{n+1} f^{(2p)} \left( t\right) B_{2p} \left( t-n \right) dt

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Цегелик Г.Г. Чисельні методи. – Львів: Видавничий центр Львівського національного університету, 2004. – 408 с
  • Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9