Формула Ейлера — Маклорена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці формула Ейлера — Маклорена визначає тісний зв'язок між інтегралами і рядами. Названа на честь швейцарського математика Леонарда Ейлера і шотландського математика Коліна Маклорена.

Твердження

[ред. | ред. код]

Нехай p і q два цілих числа. Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку , функції :

де :

В даних формулах позначає iмногочлен Бернуллі, — періодизований многочлен Бернуллі. Числа bi позначають числа Бернуллі : b1 = −1/2, b2 = 1/6, b3 = 0, b4 = −1/30, b5 = 0, b6 = 1/42, b7 = 0, b8 = −1/30.

Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.

Доведення

[ред. | ред. код]

Достатньо довести справедливість для інтервалу де  ; загальна формула одержується за допомогою сумування.

Нехай g — функція неперервно диференційована на інтервалі . Використовуючи властивість многочленів Бернуллі : , одержуємо з інтегрування частинами :

Оскільки для , виконується , одержуємо :

Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи , одержується :

З властивості : , одержується :

Джерела

[ред. | ред. код]