Формула Клейна — Нісіни

Залежність диференціального перетину розсіяння від кута розсіяння для різних значень енергій фотона

Формула Клейна—Нісіни — формула, що описує повний переріз комптонівського розсіювання світла на електроні. Запропонована 1928-го року Оскаром Клейном і Йосіо Нісіною.

Розсіювання, у якого падаюча хвиля змінює свою частоту, називається комптонівським розсіюванням. Диференційний та повний переріз такого розсіювання розраховується в квантовій електродинаміці. Воно спостерігається при розсіюванні рентгенівських променів на електронних оболонках атомів та розсіюванні гамма-променів на атомних ядрах.

Зміна довжини хвилі $\Delta \lambda$ при комптонівському розсіюванні визначається формулою:

$\Delta \lambda =2\lambda _{0}\sin ^{2}(\theta /2),\lambda _{0}=h/m_{0}c,\lambda _{0}=2,426\cdot 10^{-12}$ м,

де $\lambda _{0}$- комптонівська довжина хвилі електрона, $\theta$ — кут між напрямом падаючої та розсіяної хвиль, $h$— стала Планка, $m_{0}$— маса електрона, а $c$ — швидкість світла.

Частота випромінювання $\omega _{2}$ після розсіювання визначається формулою Комптона:

$\omega _{2}={\frac {\omega _{1}}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}},$

де $\epsilon =\hbar \omega _{1}/m_{0}c^{2}$, $\hbar =h/2\pi$, а $\omega _{1}$- частота падаючої хвилі. Повний переріз комптонівського розсіювання на вільному електроні:

$\sigma _{k}=2\pi r_{0}^{2}\left[{\frac {1+\epsilon }{\epsilon ^{2}}}\left({\frac {2+2\epsilon }{1+2\epsilon }}-{\frac {\ln(1+2\epsilon )}{\epsilon }}\right)+{\frac {\ln(1+2\epsilon )}{2\epsilon }}-{\frac {1+3\epsilon }{(1+2\epsilon )^{2}}}\right],\epsilon ={\frac {\hbar \omega }{m_{0}c^{2}}}$

Ця формула і називається формулою Клейна — Нісіни. Її отримали Оскар Клейн та Йошіо Нішіна 1928 року. Вона добре підтверджується експериментальними дослідженнями, якщо енергія $\hbar \omega$ падаючого фотона значно більша енергії електрона $m_{0}c^{2},\hbar \omega \gg m_{0}c^{2}$, тобто $\lambda \ll \lambda _{0}$, де $\lambda _{0}$— комптонівська довжина хвилі електрона.

Інтенсивність $I_{2}$ розсіяного випромінювання на віддалі $R$ від центру розсіювання зв'язана з інтенсивністю $I_{1}$ падаючої хвилі та відношенням частот $\omega _{2}/\omega _{1}$ співвідношенням:

$I_{2}={\frac {I_{1}}{R^{2}}}{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}$

де ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}$ — диференційний переріз розсіювання.

Література

• Кузьмичёв В. Е. Законы и формулы физики.- Киев: Наук. думка, 1989.- 864с.

Дивись також

• Релеївське розсіювання
• Томсонівське розсіювання