Формула Муавра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа та будь-якого цілого числа виконується рівність:

Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.

Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».

Отримання[ред. | ред. код]

Хоча історично формули довели раніше, її можна легко отримати з формули Ейлера

і закону піднесення до цілочисельного степеня

Тоді, за формулою Ейлера

Простіший спосіб доведення такий:

де останній перехід випливає таких тригонометричних тотожностей

Це доведення теореми для n = 2.

Обчислення коренів n ступеня[ред. | ред. код]

Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів n-й ступеня з ненулевого комплексного числа:

де .

З основної теореми алгебри випливає, що корени -й ступени з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює . На комплексній площіні, як видно з формули, усі ці корені є вершинами правильного n-кутника, що вписан у коло радиуса з центром у нулі.

При з формули Муавра випливає вираз для обчислення значень тригонометричних функцій з кратним аргументом.

Див. також[ред. | ред. код]