Формула Муавра

Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа $x\,$ та будь-якого цілого числа $n\,$ виконується рівність:

\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,

Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.

Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».

Зв'язок з формулою Ейлера

Історично формулу Муавра було доведено раніше за формулу Ейлера:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

проте її легко отримати з неї. Згідно із законом піднесення до цілого степеня^[1]:

\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{i(nx)},

далі по формулі Ейлера:

e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx).

Доведення по індукції

Слушність формули Муавра може бути доведена для натуральних чисел за допомогою математичної індукції, а потім поширена на всю множину цілих чисел. Позначимо як $S(n)$ таке твердження ( $n$ — ціле):

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.

Вочевидь $S(1)$ певне, оскільки при $n = 1$ твердження обертається на тотожність. Припустимо, що $S(k)$ певне для будь-якого натурального $k$ :

\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.

Розглянемо $S(k + 1)$ :

{\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{внаслідок індуктивного припущення}}\\&=\cos(kx)\cos x-\sin(kx)\sin x+i\left(\cos(kx)\sin x+\sin(kx)\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{згідно з тригонометричними тотожностями}}\end{alignedat}}

Дивіться Формули для суми аргументів тригонометричних функцій.

Отже, ми довели, що в разі певності $S(k)$ також певне $S(k + 1)$ . Зважаючи на певність $S(1)$ , згідно принципу математичної індукції приходимо до висновку, що твердження певне для всіх натуральних чисел. Далі, вочевидь $S(0)$ також певне, оскільки $cos(0 x) + i sin(0 x) = 1 + 0 i = 1$ . Насамкінець, в разі негативного показника $- n$ , розглядатимемо степінь як обернену величину степеня з натуральним показником $n$ :

{\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\qquad (*)\\\end{aligned}}

Рівність (*) є результатом тотожності:

z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},

де $z = cos (nx) + i sin (nx)$ .

Отже, $S(n)$ певне для всієї множини цілих чисел $n$ .

Обчислення коренів n ступеня

Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів n-й ступеня з ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big )}{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),

де $k=0,1,\dots ,n-1$ .

З основної теореми алгебри випливає, що корені $n$ -го ступеня з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює $n$ . На комплексній площині, як видно з формули, усі ці корені є вершинами правильного n-кутника, що вписаний у коло радіусу ${\sqrt[{n}]{r}}$ з центром у нулі.