Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа та будь-якого цілого числа виконується рівність:
Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.
Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».
Історично формулу Муавра було доведено раніше за формулу Ейлера:
проте її легко отримати з неї. Згідно із законом піднесення до цілого степеня [1]:
далі по формулі Ейлера:
Слушність формули Муавра може бути доведена для натуральних чисел за допомогою математичної індукції, а потім поширена на всю множину цілих чисел. Позначимо як S(n) таке твердження (n - ціле):
Вочевидь S(1) певне, оскільки при n = 1 твердження обертається на тотожність. Припустимо, що S(k) певне для будь-якого натурального k:
Розглянемо S(k + 1):
Дивіться Формули для суми аргументів тригонометричних функцій.
Отже, ми довели, що в разі певності S(k) також певне S(k + 1). Зважаючи на певність S(1), згідно принципу математичної індукції приходимо до висновку, що твердження певне для всіх натуральних чисел. Далі, вочевидь S(0) також певне, оскільки cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1. Насамкінець , в разі негативного показника −n, розглядатимемо степінь як обернену величину степеня з натуральним показником n:
Рівність (*) є результатом тотожності:
де z = cos (nx) + i sin (nx).
Отже, S(n) певне для всієї множини цілих чисел n.
Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів n-й ступеня з ненулевого комплексного числа:
де .
З основної теореми алгебри випливає, що корені -го ступеня з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює . На комплексній площині, як видно з формули, усі ці корені є вершинами правильного n-кутника, що вписаний у коло радіусу з центром у нулі.
При з формули Муавра випливає вираз для обчислення значень тригонометричних функцій з кратним аргументом.
- ↑ Якщо b - неціле число, то - багатозначна функція змінної a, і є лише одним з її значень.