Формула Фейнмана — Каца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формула Фейнмана-Каца, названа на честь Річарда Фейнмана і Марка Каца — формула взаємозв'язку між рівняннями частинних похідних і стохастичними процесами. З допомогою цієї формули можна розв'язувати певні типи РЧП за допомогою симуляції траєкторій стохастичних процесів. Навпаки, стохастичні рівняння частинних похідних можна розв'язувати методами звичайних РЧП без залучення стохастичних методів.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай маємо РЧП:

і умову

де - відомі функції,  — параметр і невідома функція. Це рівняння відоме під назвою рекурентне рівняння Колмогорова (одновимірне). Тоді формула Фейнмана-Каца полягає в тому, що розв'язок цієї задачі записується як математичне сподівання:

де  — процес Іто, що описується рівнянням

де  — Вінерівський процес (іноді можна зустріти назву Броунівський рух) і початкова умова для є . Це математичне сподівання можна обчислити (наближено з певною точністю) використовуючи Метод Монте-Карло чи квазі Монте-Карло методи.

Доведення[ред.ред. код]

Застосувавши лему Іто до невідомого процесу можна отримати

Вираз у перших дужках є РЧП згадане вище і тому цей вираз рівний нулю за припущенням. Тепер проінтегрувавши обидві частини рівняння отримаємо

Після тривіальних перетворень візьмемо математичне сподівання обидвох частин рівності:

Оскільки матсподівання інтеграла Іто по Вінерівському процесі дорівнює нулю отримаємо бажаний результат:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М. : Мир, 2003. — 408 с.
  • Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
  • Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.