Формула Фейнмана — Каца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формула Фейнмана-Каца, названа на честь Річарда Фейнмана і Марка Каца — формула взаємозв'язку між рівняннями частинних похідних і стохастичними процесами. З допомогою цієї формули можна розв'язувати певні типи РЧП за допомогою симуляції траєкторій стохастичних процесів. Навпаки, стохастичні рівняння частинних похідних можна розв'язувати методами звичайних РЧП без залучення стохастичних методів.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай маємо РЧП:

\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0

і умову

\ f(x,T)=\psi(x)

де \mu,\ \sigma,\ \psi - відомі функції, \ T — параметр і \ f невідома функція. Це рівняння відоме під назвою рекурентне рівняння Колмогорова (одновимірне). Тоді формула Фейнмана-Каца полягає в тому, що розв'язок цієї задачі записується як математичне сподівання:

\ f(x,t) = E[ \psi(X_T) | X_t=x ]

де \ X — процес Іто, що описується рівнянням

dX = \mu(X,t)\,dt + \sigma(X,t)\,dW,

де \ W(t) — Вінерівський процес (іноді можна зустріти назву Броунівський рух) і початкова умова для \ X(t) є \ X(0) = x. Це математичне сподівання можна обчислити (наближено з певною точністю) використовуючи Метод Монте-Карло чи квазі Монте-Карло методи.

Доведення[ред.ред. код]

Застосувавши лему Іто до невідомого процесу \displaystyle f(X_t,t) можна отримати

df=\left(\mu(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)\,dt+\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW.

Вираз у перших дужках є РЧП згадане вище і тому цей вираз рівний нулю за припущенням. Тепер проінтегрувавши обидві частини рівняння отримаємо

f(X_T,T)-f(x,t)=\int_t^T df=\int_t^T\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW.

Після тривіальних перетворень візьмемо математичне сподівання обидвох частин рівності:

f(x,t)=\textrm{E}\left[f(X_T,T)\right]-\textrm{E}\left[\int_t^T\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW\right].

Оскільки матсподівання інтеграла Іто по Вінерівському процесі  \displaystyle W дорівнює нулю отримаємо бажаний результат:

f(x,t)=\textrm{E}\left[f(X_T,T)\right]=\textrm{E}\left[\psi(X_T)\right]=\textrm{E}\left[\psi(X_T)|X_t=x\right].

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М.: Мир, 2003. — 408 с.
  • Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
  • Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.