Фо́рмула суму́вання А́беля, яку ввів норвезький математик Нільс Генрік Абель, часто застосовується в теорії чисел для оцінення сум скінченних і нескінченних рядів.
Нехай
— послідовність дійсних або комплексних чисел і
— неперервно диференційовна на промені
функція. Тоді

де

В загальному випадку, якщо
є неперервно диференційовною на
то

Якщо часткові суми ряду
обмежені, а
, то граничним переходом можна отримати таку рівність

Доведення
Подамо обидві частини рівності як функції від

. По-перше, зауважимо, що з

рівність істинна (інтеграл перетворюється в нуль). По-друге, за нецілих

обидві частини можна продиференціювати, отримавши правильну рівність. Нарешті, при цілому

ліва частина має стрибок

, такий самий стрибок має функція

, а інтеграл неперервний, тобто має стрибок рівний нулю. Таким чином, формулу доведено для всіх

.
Для
і
легко бачити, що
тоді

переносячи в ліву частину логарифм і переходячи до границі, отримуємо вираз для сталої Ейлера — Маскероні:
, де
— дробова частина число
.
Для
і
аналогічно
тоді

Цю формулу можна використовувати для визначення дзета-функції в області
оскільки в цьому випадку інтеграл збігається абсолютно. Крім того, з неї випливає, що
має простий полюс із лишком 1 у точці s = 1.
У загальному випадку, якщо
є неперервно диференційовною на
і всі
(тоді також
) то:

Для доведення останньої рівності використано інтегрування частинами.
Рівність

називається формулою сумування Ейлера — Маклорена. Якщо
є цілими числами, то вона є найпростішим випадком формул Ейлера — Маклорена. Дана формула часто використовується у аналітичній теорії чисел. Зокрема приклади вище є частковими випадками цієї формули.
Інший важливий приклад застосування можна отримати, якщо взяти
і
Тоді

Перший доданок у правій частині є рівним
а два інші є
Отже остаточно:
