Фрактальна функція

Опис зображення

Під фрактальною функцією розуміють функцію, яка

• наділена фрактальними властивостями суттєвих для неї множин:
  • множина значень,
  • множин рівнів,
  • множини різного роду особливостей, зокрема, диференціальних, графік;
• зберігає фрактальну розмірність.

Метричний простір $C[0;1]$ багатий на функції з неоднорідною та складною локальною тополого-метричною структурою. Це

• ніде не диференційовні,
• звивисті,
• ніде не монотонні,
• сингулярні функції.

Фрактальними властивостями володіють:

• сингулярні функції (неперервні функції, відмінні від сталої, похідна яких рівну нулю майже скрізь в розумінні міри Лебега), оскільки множина точок їх недиференційовності має фрактальні властивості;
• ніде не монотонні функції, оскільки вони, взагалі кажучи, мають значення, що є образом фрактальної множини точок (фрактальні рівні);
• ніде не диференційовні функції, оскільки їх графіки (як множини простору $R^{2}$) часто є самоподібними, самоафінними та автомодельним.

Історично першим прикладом сингулярної функції є функція Кантора. Прикладом сингулярної функції є також функція Салема та функція Мінковського, множина точок яких зростає та заповнює повністю відрізок $[0;1].$

Див. також

• Фрактал
• Функція Веєрштраса
• Blancmange curve
• Крива Коха
• Ніде не неперервна функція
• Трибін функція
• Сингулярна функція

Джерела та література

• Працьовитий М. В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних роподілів. — Київ: НПУ імені М. П. Драгоманова, 1998—296с.

• Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, функции, распределения. — Киев: Наук. думка, 1992. — 208 с.