Функція Гудермана

Графік функції Гудермана

Функція Гудермана(також гіперболічна амплітуда або гудерманіан) — спеціальна функція, що пов'язує тригонометричні і гіперболічні функції. Названа на честь німецького математика Крістофа Гудермана.

Функція визначена як:

${\text{gd }}x\,$	$=\int _{0}^{x}{dt \over \cosh t}$
	$=2\,{\text{arctg}}\left({\text{tgh }}{\frac {x}{2}}\right)$
	$=2\,{\text{arctg }}e^{x}-{\pi \over 2}$

Зміст

Функція Гудермана визначає зв'язок, який існує між тригонометричними і гіперболічними функціями без застосування комплексного аналізу.

{\text{tgh }}{x \over 2}={\text{tg }}{{\text{gd }}x \over 2}

{\begin{array}{lcl}\sinh x&=&{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\\cosh x&=&\sec \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{tgh }}x&=&\sin \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{sech }}x&=&\cos \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{csch }}x&=&{\text{ctg}}\left({\text{gd }}x\right)\\{\text{ctgh }}x&=&\csc \left({\text{gd }}x\right)\end{array}}

Експоненційну функцію можна виразити через функцію Гудермана:

$e^{x}$	$={\frac {1}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)=\sec \left({\text{gd }}x\right)+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)$
	$={\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {{\text{gd }}x}{2}}\right)$
	$={\frac {1+\sin \left({\text{gd }}x\right)}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}$

Похідна функції Гудермана рівна:

{d \over dx}\,{\text{gd }}x={\text{sech }}x

Розклад в ряд Тейлора для функції Гудермана має вигляд:

\operatorname {gd} (x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7}}{5040}}+\dots

Обернена функція до функції Гудермана (що позначається як ${\text{arcgd }}x$ або ${\text{gd}}^{-1}x$ ) рівна:

${\text{arcgd }}x$	$={\text{gd}}^{-1}x=\int _{0}^{x}{dt \over \cos t}$
	$={\text{arcosh}}\left(\sec x\right)={\text{artgh}}\left(\sin x\right)$
	$=\ln \left(\sec x\left(1+\sin x\right)\right)$
	$=\ln \left({\text{tg }}x+\sec x\right)=\ln \left({\text{tg}}\left({\pi \over 4}+{x \over 2}\right)\right)$
	$={1 \over 2}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)={\text{artgh}}\left(\sin x\right)$