Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Функція Гудермана (також гіперболічна амплітуда або гудерманіан ) — спеціальна функція , що пов'язує тригонометричні і гіперболічні функції . Названа на честь німецького математика Крістофа Гудермана.
Функція визначена як:
gd
x
{\displaystyle {\text{gd }}x\,}
=
∫
0
x
d
t
cosh
t
{\displaystyle =\int _{0}^{x}{dt \over \cosh t}}
=
2
arctg
(
tgh
x
2
)
{\displaystyle =2\,{\text{arctg}}\left({\text{tgh }}{\frac {x}{2}}\right)}
=
2
arctg
e
x
−
π
2
{\displaystyle =2\,{\text{arctg }}e^{x}-{\pi \over 2}}
Функція Гудермана визначає зв'язок, який існує між тригонометричними і гіперболічними функціями без застосування комплексного аналізу .
tgh
x
2
=
tg
gd
x
2
{\displaystyle {\text{tgh }}{x \over 2}={\text{tg }}{{\text{gd }}x \over 2}}
sinh
x
=
tg
(
gd
x
)
cosh
x
=
sec
(
gd
x
)
tgh
x
=
sin
(
gd
x
)
sech
x
=
cos
(
gd
x
)
csch
x
=
ctg
(
gd
x
)
ctgh
x
=
csc
(
gd
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sinh x&=&{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\\cosh x&=&\sec \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{tgh }}x&=&\sin \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{sech }}x&=&\cos \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{csch }}x&=&{\text{ctg}}\left({\text{gd }}x\right)\\{\text{ctgh }}x&=&\csc \left({\text{gd }}x\right)\end{array}}}
Експоненційну функцію можна виразити через функцію Гудермана:
e
x
{\displaystyle e^{x}}
=
1
cos
(
gd
x
)
+
tg
(
gd
x
)
=
sec
(
gd
x
)
+
tg
(
gd
x
)
{\displaystyle ={\frac {1}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)=\sec \left({\text{gd }}x\right)+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)}
=
tg
(
π
4
+
gd
x
2
)
{\displaystyle ={\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {{\text{gd }}x}{2}}\right)}
=
1
+
sin
(
gd
x
)
cos
(
gd
x
)
{\displaystyle ={\frac {1+\sin \left({\text{gd }}x\right)}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}}
Похідна функції Гудермана рівна:
d
d
x
gd
x
=
sech
x
{\displaystyle {d \over dx}\,{\text{gd }}x={\text{sech }}x}
Розклад в ряд Тейлора для функції Гудермана має вигляд:
gd
(
x
)
=
x
−
x
3
6
+
x
5
24
−
61
x
7
5040
+
…
{\displaystyle \operatorname {gd} (x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7}}{5040}}+\dots }
Обернена функція до функції Гудермана (що позначається як
arcgd
x
{\displaystyle {\text{arcgd }}x}
gd
−
1
x
{\displaystyle {\text{gd}}^{-1}x}
arcgd
x
{\displaystyle {\text{arcgd }}x}
=
gd
−
1
x
=
∫
0
x
d
t
cos
t
{\displaystyle ={\text{gd}}^{-1}x=\int _{0}^{x}{dt \over \cos t}}
=
arcosh
(
sec
x
)
=
artgh
(
sin
x
)
{\displaystyle ={\text{arcosh}}\left(\sec x\right)={\text{artgh}}\left(\sin x\right)}
=
ln
(
sec
x
(
1
+
sin
x
)
)
{\displaystyle =\ln \left(\sec x\left(1+\sin x\right)\right)}
=
ln
(
tg
x
+
sec
x
)
=
ln
(
tg
(
π
4
+
x
2
)
)
{\displaystyle =\ln \left({\text{tg }}x+\sec x\right)=\ln \left({\text{tg}}\left({\pi \over 4}+{x \over 2}\right)\right)}
=
1
2
ln
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
=
artgh
(
sin
x
)
{\displaystyle ={1 \over 2}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)={\text{artgh}}\left(\sin x\right)}
Окрім того справедливою є рівність:
i
arcgd
x
=
arcgd
(
i
x
)
{\displaystyle i{\text{ arcgd }}x={\text{arcgd}}\left(ix\right)}
Похідна оберненої функції Гудермана рівна:
d
d
x
arcgd
x
=
sec
x
{\displaystyle {d \over dx}\,{\text{arcgd }}x=\sec x}
Похідні, ряди, інтеграли [ ред. | ред. код ] Производні функції Гудермана і оберненої функції Гудермана дорівнюють відповідно гіперболічному і тригонометричному секансу:
d
d
x
gd
x
=
sech
x
,
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x,}
d
d
x
arcgd
x
=
sec
x
.
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcgd} x=\sec x.}
Розклад у ряд:
gd
x
=
x
−
x
3
6
+
x
5
24
−
61
x
7
5040
+
277
x
9
72576
+
…
,
{\displaystyle \operatorname {gd} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7}}{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\dots ,}
arcgd
x
=
x
+
x
3
6
+
x
5
24
+
61
x
7
5040
+
277
x
9
72576
+
…
{\displaystyle \operatorname {arcgd} x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}+{\frac {61x^{7}}{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\dots }
Коефіцієнти розкладу гудерманіана і антигудерманіана при членах однакового степеня збігаються за модулем, однак у членів зі степенями 3, 7, 11,... коефіцієнти розкладу гудерманіана від'ємні, а в оберненої функції — додатні.
Інтеграл функції Гудермана:
∫
gd
z
d
z
=
−
π
2
z
+
i
(
L
i
2
(
−
i
e
x
)
−
L
i
2
(
i
e
x
)
)
,
{\displaystyle \int \operatorname {gd} zdz=-{\frac {\pi }{2}}z+i\left(\operatorname {Li_{2}} (-ie^{x})-\operatorname {Li_{2}} (ie^{x})\right),}
где Li2 — дилогарифм .
Гудерманіан і антігудерманіан, що дозволяють легко переходити від гіперболічних до тригонометричних функцій і назад, використовуються для аналітичного інтегрування методом тригонометричної і гіперболічної підстановки.
