Функція Діріхле

Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

Властивості

• Функція Діріхле є розривною в кожній точці своєї області визначення.
• Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом, проте є інтегровною за Лебегом.
• Функція Діріхле належить до другого класу Бера. Тобто, її не можна представити як границю послідовності неперервних функцій, але можна задати як границю границь послідовності неперервних функцій. Наприклад:

$D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}m!\pi x,$

Інтеграли від функції Діріхле

Інтеграл Рімана

Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття $\left[x_{k-1},x_{k}\right]$ містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна

$U(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \inf _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)=0,$

а верхня сума рівна

$O(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \sup _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x),$

що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.

Інтеграл Лебега

Функція Діріхле є простою, тобто набуває скінченної кількості значень, тому маємо рівність для інтеграла в області $I\in \mathbb {R}$

$\int _{I}D(x)\,d\lambda (x)=0\cdot \lambda (I\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )+1\cdot \lambda (I\cap \mathbb {Q} )$,

де $\lambda (x)$ позначає міру Лебега.

Оскільки $\lambda (I\cap \mathbb {Q} )$ як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:

$\int _{I}D(x)\,d\lambda (x)=0.$

Див. також

• Функція Томе
• Список об'єктів, названих на честь Діріхле

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)