Функція Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:

де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

Властивості[ред.ред. код]

Інтеграли від функції Діріхле[ред.ред. код]

Інтеграл Рімана[ред.ред. код]

Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна

а верхня сума рівна

що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.

Інтеграл Лебега[ред.ред. код]

Функція Діріхле є простою, тобто приймає скінченну кількість значень, тому маємо рівність для інтеграла в області

,

де позначає міру Лебега.

Оскільки як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]