Функція Ейрі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функцій Ai(x) (червоний) та Bi(x) (синій)

Функція Ейрі Ai(x) — спеціальна функція, названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі. Функції Ai(x) та пов'язана з нею Bi(x), яка називається функцією Ейрі другого роду, є лінійно незалежними розв'язками диференціального рівняння

,

що називається рівнянням Ейрі. Це найпростіше диференціальне рівняння що має точку, в якій вид розв'язку замінюється з коливального на експоненційний.

Функція Ейрі описує те, як зірка (точкове джерело світла) виглядає в телескопі. Ідеальна точка перетворюється в набір концентричних кіл, в силу обмеженої апертури та хвильової природи світла. Функція Ейрі також є розв'язком стаціонарного рівняння Шредінгера для частки, що рухається в однорідному полі, наприклад, електричному.

Визначення[ред.ред. код]

Для дійсних x, функція Ейрі та функція Ейрі другого роду визначаються інтегралом:

Виконуючи диференціювання під знаком інтегралу, можна переконатися, що ці функції справді задовольняють рівнянню Ейрі.

При функція Ейрі другого роду має однакову амплітуду коливань із функцією Ейрі, які, проте, відрізняються протилежною фазою.

Властивості[ред.ред. код]

В точці x=0 функції Ai(x) і Bi(x) та їх похідні мають значення

де  — гамма-функція. Звідси випливає, що визначник Вронського функцій Ai(x) та Bi(x) дорівнює 1/π.

При додатніх x Ai(x) — додатня, опукла функція, яка зменшується експоненційно до 0, а Bi(x) — додатня опукла функція, котра зростає експоненційно. При від'ємних x Ai(x) та Bi(x) коливається навколо нуля із дедалі більшою частотою й дедалі меншою амплітудою. Це підтверджується асимптотичними виразами для функцій Ейрі.

Асимптотичні вирази[ред.ред. код]

При :

При  :

Комплексний аргумент[ред.ред. код]

Функція Ейрі може бути аналітично продовжена на комплексну площину за формулою

де інтеграл береться по контуру , котрий починається в точці на нескінченності із аргументом −π/3 і закінчується в точці на нескінченності із аргументом π/3. Можна підійти з іншого боку, використовуючи диференціальне рівняння для продовження Ai(x) та Bi(x) до цілих функцій на комплексній площині.

Асимптотична формула для Ai(x) залишається в силі на комплексній площині, якщо брати головне значення кореня x2/3 і x не лежить на від'ємній дійсній півосі. Формула для Bi(x) правильна, якщо x лежить в секторі {xC : |arg x| < (1/3)π−δ} для деякого додатнього δ. Формули для Ai(−x) та Bi(−x) справедливі, якщо x лежить в секторі {xC : |arg x| < (2/3)π−δ}.

Із асимптотичної поведінки функцій Ейрі витікає, що обидві вони мають нескінченне число нулів (коренів) на дійсній півосі. У функції Ai(x) на комплексній площині немає інших нулів, а а функція Bi(x) має нескінченне число нулів в секторі {zC : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями[ред.ред. код]

Для додатних аргументів, функції Ейрі зв'язані з модифікованими функціями Бесселя:

де I±1/3 и K1/3 — розв'язок рівняння .

Для від'ємних аргументів функції Ейрі зв'язані з функціями Бесселя:

де J±1/3 — розв'язок рівняння .

Функції Скорера є розв'язками рівняння . Вони також можуть бути виражені через функції Ейрі

Історія[ред.ред. код]

Функція Ейрі названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі, котрий зіткнувся з нею при оптичних дослідженнях (1838 р.). Позначення Ai(x) запровадив Гарольд Джеффрі.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ландау Л. Д., Лившиц Е. М.: Квантовая механика, 1989 Розділ: Математические дополнения
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, ( § 10.4).
  • Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379—402.
  • Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.