Функція Мертенса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії чисел функція Мертенса визначається:

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

де μ(k) - функція Мебіуса.

Для довільного натурального числа k виконується \mu(k)\le 1, тому M(n) \le n. Значення функції Мертенса для перших натуральних чисел дорівнюють:

1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, -2, -1, -2, -2, -3, -2, -1, -1, -2, -2, ... Послідовність A002321 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей

Загалом функція Мертенса зростає у додатному і від'ємному напрямках здійснюючи хаотичні коливання і набуваючи значення нуль для чисел:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... Послідовність A028442 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей.

Дане визначення можна поширити на довільні дійсні числа:

M(x) = \sum_{1\le k \le x} \mu(k).

Функція названа на честь німецького математика Франца Мертенса, що припустив виконання нерівності:

\left| M(n) \right| < \sqrt { n }

З виконання гіпотези Мертенса випливала б гіпотеза Рімана. Дане припущення було спростоване в 1985 Андрієм Одлижко та Германом те Ріілем; контрприклад в наш час[Коли?] невідомий, проте відомо існування його в межах 1014 — 3,21×1064.

Гіпотеза Рімана є еквівалентною дещо слабшому твердженню про поведінку функції Мертенса: M(n) = O(n1/2 + ε).

Для функції Мертенса виконується формула:

 \frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} \, ds = M(x)

де C — замкнута крива, що оточує всі корені ζ(s)дзета-функції Рімана.

Навпаки виконується рівність

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int_1^\infty \frac{M(x)}{x^{s+1}}\,dx

що є справедливою для Re(s) > 1.

Посилання[ред.ред. код]

  • A. M. Odlyzko and Herman te Riele, "Disproof of the Mertens Conjecture", Journal für die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138–160.
  • Weisstein, Eric W. Mertens function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Pintz, J. "An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." Astérique 147-148, 325-333 i 346, 1987. (fr)