Функція Томе

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік функції Томе на інтервалі (0,1). Показані всі раціональні точки із знаменником не більше 200.

Функція Томе — це визначена на множині дійсних чисел функція від дійсної змінної , що названа на честь Карла Йоганнеса Томе[en]. Вона має багато назв: модифікована функція Діріхле, функція Рімана, краплева функція, лінійкова функція, Зірка Вавилона[1]. Визначення можна записати так:

У даному означенні вважається, що дріб є нескоротним.

Властивості[ред. | ред. код]

Справді, для будь-кого маємо

оскільки завжди можна підібрати проколотий окіл настільки малим, щоб усі належні до нього раціональні числа мали достатньо великі знаменники. З означення функції Томе і означення неперервності функції одержуємо необхідне твердження.

Справді, нехай Z   -- деяке розбиття області інтегрування і   -- довжини проміжків розбиття. Позначимо також коливання Функції Томе на проміжку і. Кількість раціональних чисел зі знаменниками де є, очевидно, деяким скінченним числом k. Тоді кількість проміжків розбиття, що містять такі числа, рівна щонайбільше 2k, а їх сукупна довжина не перевищує . На інших проміжках коливання функції є меншим . Остаточно можемо записати: , де d   -- довжина області інтегрування. Узявши N достатньо великим, а достатньо малим, можемо зробити цю суму як завгодно малою, звідки й випливає інтегровність за Ріманом.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1375516. mathforum.org. Процитовано 2018-06-13.