Функція Гевісайда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Функція Гевісайда з H(0) = ½

Функція Гевісайда, H,  — це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатніх значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Гевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірності функція Гевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.

Функція Гевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати.

В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.

Дискретна форма[ред.ред. код]

Функцію Гевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:

де n  — ціле число.

Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Гевісайда:

і виконується рівність:

Аналітичні апроксимації[ред.ред. код]

Для наближення функції Гевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:

,

Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:

Існують і інші наближення, зокрема:

Інтегральне представлення[ред.ред. код]

Функція Гевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:

H(0)[ред.ред. код]

Серед найпоширеніших значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ or H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:

Іноді також використовується загальний запис:

Первісна і похідна[ред.ред. код]

Первісною функцією для функції Гевісайда є: де за визначенням:

Похідною функції Гевісайда є дельта-функція Дірака:

Див. також[ред.ред. код]