Функція вибору

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція вибору (чи селектор) для множини це функція ( - булеан ), яка кожній множині ставить у відповідність деяку її підмножину .

Функція вибору та аксіома вибору[ред.ред. код]

Ернст Цермело ввів поняття функції вибору разом з аксіомою вибору в 1904 році в доведенні теореми про цілком впорядковану множину. Як було вказано ним, деякі множини можуть мати функцію вибору і без застосування аксіоми вибору:

  • Для скінченного сімейства множин.
  • Якщо кожна множина сімейства є цілком впорядкованою.
  • Коли об'єднання всіх множин сімейства є цілком впорядковуваним.

Способи задання[ред.ред. код]

Вибір зручно здійснювати порівнюючи дві альтернативи, тобто задавати на деяке бінарне відношення . Тоді, функцію вибору за цим бінарним відношенням можна задати двома способами:

  • Блокування - множина мажорант на множині X. ( - доповнення до відношення).
  • Перевага - множина максимумів на множині X.

Теорема: функції вибору і зв'язані співвідношеннями , де - двоїсте відношення до R.

Покриваюче сімейство для множини X - це .

Функція вибору є нормальною, тоді і лише тоді, коли для будь-якої множини , і для будь-якого покриваючого її сімейства виконується:

Тобто, якщо функція нормальна, то кожен об'єкт з X, що не є обраним у X, не є обраним хоча б у одній множині з покриваючого сімейства.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Волошин О.Ф.; Мащенко С.О. (2006). Теорія прийняття рішень (укр). К: ВПЦ "Київський університет". ISBN 966-594-742-7.