Раціональна функція

Раціональна функція однієї змінної — це алгебраїчний вираз, що є відношенням двох многочленів, тобто має вигляд

${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots +b_{1}x+b_{0}}}.$

При цьому коефіцієнти многочленів належать деякому заздалегідь визначеному полю, наприклад, множині дійсних або комплексних чисел. Причому коефіцієнти зовсім не обов'язково мають бути раціональними числами.

Степенем раціональної функції називається максимум з степенів многочленів P та Q. Раціональні функції степеня 1 називаються перетворенням Мебіуса.

Раціональна функція визначена для всіх значень змінних, крім тих, при яких знаменник перетворюється в нуль.

Функції, які неможливо представити у вигляді відношення двох многочленів, називають ірраціональними функціями.

На раціональні функції поширюються арифметичні дії (додавання, множення, віднімання і ділення). Сукупність усіх раціональних функцій сама утворює поле, так зване поле раціональних функцій. Раціональні функції належать до ширшого класу елементарних функцій.

Так само визначаються раціональні функції кількох змінних

$R(x)={\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}$

Властивості

• Будь-який вираз, який можна отримати зі змінних $x_{1},\dots ,x_{n}$ за допомогою чотирьох арифметичних дій, є раціональною функцією.
• Множина раціональних функцій замкнута щодо арифметичних дій і операції композиції.
• Будь-яка раціональна функція може бути представлена ​​у вигляді суми найпростіших дробів (див. Метод невизначених коефіцієнтів), це застосовується при аналітичному інтегруванні.

Приклади

Приклади раціональних функцій

Раціональна функція степеня 2: $y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

Раціональна функція степеня 3: $y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

Раціональна функція $f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$ не визначена при $x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}$.

Раціональна функція $f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$ визначена на всіх дійсних числах, але не на всіх комплексних числах. Невизначеність виникає коли x є квадратним коренем з $-1$ (т.з. $i$ - уявна одиниця або $-i$), коли виникає ділення на нуль: $f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}}$.

Раціональна функція $f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$, при x що прямує до нескінченності, прямує до ${\frac {x}{2}}$.

Функція-константа, наприклад f(x) = π є раціональною функцією тому що константа є многочленом (виродженим). Зауваження. Функція є раціональною навіть коли f(x) є ірраціональним числом при всіх x.

Раціональна функція $f(x)={\frac {x}{x}}$ дорівнює 1 для всіх x крім 0, що є усувною особливою точкою.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1800+ с.(укр.)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)

Дивись також

• Алгебраїчні функції