Signum-функція

У математиці, sign функція, signum функція, си́гнум-фу́нкція, зна́кова фу́нкція або функція знаку (з латинської signum «знак»)  — це непарна математична функція, яка «витягує» знак дійсного числа. У математичних виразах функція sign часто зустрічається як sgn.

Означення

Функція знаку y = sgn(x)

Функція знаку дійсного числа x визначається наступним чином:

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{якщо }}x<0,\\0,&{\text{якщо }}x=0,\\1,&{\text{якщо }}x>0.\end{cases}}$

Або як:

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {\mathrm {\operatorname {d} } }{\mathrm {\operatorname {d} } x}}\left|x\right|,\quad x\neq 0.$

Властивості

Будь-яке дійсне число може бути представлене у вигляді добутку його абсолютного значення і його функції знаку:

$x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\,.$

Звідси випливає, що при$\quad x\neq 0$

$\operatorname {sgn}(x)={x \over |x|}={|x| \over x}\,.$

Так само і для будь-якого дійсного числа x

$|x|=\operatorname {sgn}(x)\cdot x\,.$

Ми також можемо переконатися, що

$\operatorname {sgn}(x^{n})=(\operatorname {sgn}(x))^{n}.$

Функція $\operatorname {sgn}(x)$ є похідною функції $y=|x|,$ з точністю до невизначеності при x = 0:

${\operatorname {d} |x| \over \operatorname {d} x}=\operatorname {sgn}(x){\mbox{ для }}x\neq 0.$

Більш формально, в теорії інтегрування функцій  — це слабка похідна, а в теорії опуклих функцій субдиференціалом абсолютного значення при $x=0$ є інтервал $[-1,1]$, «заповнення» функції знаку (субдиференціал абсолютного значення не є однозначним при $x=0$).

Функція знаку не є неперервною у точці x = 0

Похідна функції $\operatorname {sgn}(x)$ дорівнює 0 для всіх x крім 0. Вона не є диференційовною при $x=0$ у звичайному сенсі, але диференційовною в узагальненому сенсі в теорії розподілу, похідною від функції $\operatorname {sgn}(x)$ є дельта-функція Дірака, що можна показати за допомогою тотожності

$\operatorname {sgn}(x)=2H(x)-1\,,$

де H(x) — Функція Гевісайда, H(0) = 12. Використовуючи цю тотожність, легко знайти похідну:

${\frac {\operatorname {d} (\operatorname {sgn}(x))}{\operatorname {d} x}}=2{\frac {\operatorname {d} H(x)}{\operatorname {d} x}}=2\delta (x)\,.$

Перетворення Фур'є функції $\operatorname {sgn}(x)$ має вигляд

$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sgn}(x)e^{-ikx}\operatorname {d} x=\mathrm {p.v.} {\frac {2}{ik}},$

де p.v. — головне значення інтеграла за Коші.

Функцію $\operatorname {sgn}(x)$ також можна виразити за допомогою дужки Айверсона

$\ \operatorname {sgn}(x)=-[x<0]+[x>0]\,.$

Функцію $\operatorname {sgn}(x)$ можна записати з використанням функцій підлоги та абсолютного значення:

$\ \operatorname {sgn}(x)={\Bigg \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Bigg \rfloor }-{\Bigg \lfloor }{\frac {-x}{|-x|+1}}{\Bigg \rfloor }\,.$

Для k ≫ 1 неперервне наближення функції знаку має вигляд:

$\ \operatorname {sgn} (x)\approx \operatorname {th} (kx)\,.$

Інше наближення має вигляд:

$\ \operatorname {sgn}(x)\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,,$

яке стає «гострішим» при ε → 0; зауважимо, що це похідна від функції √x² + ε². Це ґрунтується на тому факті, що $\ {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}=\operatorname {sgn}(x)\,$ для всіх x ≠ 0 якщо ε = 0, і дає переваги для простого узагальнення на багатовимірні аналоги функції знаку (наприклад, частинні похідні функції √x² + y²).

Комплексний випадок

Функцію $\operatorname {sgn}(x)$ можна узагальнити на комплексні числа:

$\operatorname {sgn}(z)={\frac {z}{|z|}},$

для будь-якого комплексного числа z, крім z = 0. Таким чином, значення функції $\operatorname {sgn}(z)$ буде точкою на одиничному колі комплексної площини, що найближча до точки z. Тоді для z ≠ 0:

$\operatorname {sgn}(z)=e^{i\arg z}\,,$

де $\arg(z)\,$ — аргумент комплексного числа.

Комплексний варіант

З міркувань симетрії та для належного узагальнення функції $\operatorname {sgn}(z)$ на множині дійсних чисел, зазвичай дану функцію на комплексній площині визначають і для z = 0:

$\operatorname {sgn} (0+0i)=0.$

Іншим узагальненням функції $\operatorname {sgn}(z)$ для дійсних і комплексних виразів є функція csgn, що визначається як

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&{\text{якщо }}\mathrm {Re} (z)>0\\-1,&{\text{якщо }}\mathrm {Re} (z)<0\\\operatorname {sgn}(\mathrm {Im} (z)),&{\text{якщо }}\mathrm {Re} (z)=0,\end{cases}}$

де Re(z) — дійсна частина числа z, а Im(z) — комплексна частина z. Тоді для z ≠ 0 маємо

$\operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.$

Узагальнена функція знаку

Для дійсних значень x можна визначити узагальнену функцію (аналог функції знаку) ε(x), таку, що (ε(x))² = 1 для всіх x, у тому числі і в точці x = 0 (на відміну від функції $\operatorname {sgn}(x)$, для якої (sgn(0))² = 0). Ця узагальнена функція дозволяє побудувати алгебру узагальнених функцій, але ціною такого узагальнення є втрата комутативності. Зокрема, узагальнена функція знаку антикомутує з дельта-функцією Дірака

$\varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0~;$

крім цього, ε(x) не можливо визначити при x = 0; і спеціальне позначення ε необхідне, щоб відрізнити її від функції знаку (ε(0) не визначено, але sgn(0) = 0).

Див. також

• Функція Гевісайда
• Дельта-функція Дірака
• Абсолютне значення
• Від'ємне число
• Сигмоїдна функція
• Прямокутна функція
• Тришляхове порівняння

Джерела

• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.