Фінслерова геометрія

Фінслерова геометрія — одне з узагальнень ріманової геометрії. У фінслеровій геометрії розглядаються многовиди з фінслеровим метричним тензором; тобто вибором гладкої норми на кожному дотичному просторі, яка гладко змінюється від точки до точки.

Основні поняття

Нехай $M^{n}$$M^{n}$ — $n$$n$-вімірний зв'язаний $C^{\infty }$$C^{\infty }$-многовид. Позначимо через $TM^{n}$$TM^{n}$ дотичне розшарування $M^{n}$$M^{n}$. Тоді фінслеровою метрикою на $M^{n}$$M^{n}$ називається функція $F\colon TM^{n}\rightarrow [0,\infty )$$F\colon TM^{n}\rightarrow [0,\infty )$, що задовільняє властивостям:

1. $F\in C^{\infty }(TM^{n}\setminus \{0\})$$F\in C^{\infty }(TM^{n}\setminus \{0\})$ ;
2. $F$$F$ додатньо однородна першої степени, тобто для будь-якої пари $(x,y)\in TM^{n}$$(x,y)\in TM^{n}$ і числа $\lambda >0$$\lambda >0$,

   $\ F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$$\ F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$;

3. Для будь-якої пари $(x,y)\in TM^{n}$$(x,y)\in TM^{n}$ білінійна форма $\mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M^{n}\times T_{x}M^{n}\rightarrow \mathbb {R}$$\mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M^{n}\times T_{x}M^{n}\rightarrow \mathbb {R}$,

   $\mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}}\lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack |_{s=t=0}$$\mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}}\lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack |_{s=t=0}$

додатньо визначена.