Характеристична підгрупа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Характеристична підгрупапідгрупа, інваріантна відносно всіх автоморфізмів групи. Тобто підгрупа є характеристичною, якщо для кожного автоморфізму групи і для кожного елемента виконуєься .

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо підгрупа є характеристичною, вона є нормальною, зворотне твердження невірне.
Наприклад якщо група G є прямим добутком H × H, то підгрупи {1} × H і H × {1} є нормальними, але не є характеристичними (зокрема не є інваріантними щодо автоморфізму (x, y) → (y, x))
  • Якщо N є нормальною підгрупою групи G, а A є характеристичною підгрупою групи N, то Aє нормальною підгрупою групи G.
Для деякого визначимо внутрішній автоморфізм таким чином: Оскільки група N нормальна то за означенням маємо, що тобто є автоморфізмом групи N. Відповідно оскільки A є характеристичною підгрупою групи N то вона інваріантна щодо усіх таких тобто є нормальною.
  • Якщо N є характеристичною підгрупою групи G, і A є характеристичною підгрупою групи N, то іAє характеристичною підгрупою групи G.
Доводиться ідентично до попереднього з заміною на довільний автоморфізм.

Приклади[ред.ред. код]

Дійсно нехай деякий автоморфізм групи і деякий елемент, що належить центру групи. Тоді і оскільки то маємо .
  • Підгрупа Фраттіні, що визначається як перетин всіх максимальних підгруп, є характеристичною підгрупою.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.