Характер Діріхле

Характер (або числовий характер, або характер Діріхле) по модулю $k$ (де $k\geqslant 1$ — ціле число) — комплекснозначна періодична функція $\chi (n)$ на множині цілих чисел. Характери Діріхле мають важливі застосування у теорії чисел зокрема при означенні L-функції Діріхле $L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$.

Означення

Аксіоматичне означення

Характером Діріхле по модулю $k\in \mathbb {N}$ називається функція $\chi$ із множини цілих чисел $\mathbb {Z}$ у множину комплексних чисел $\mathbb {C}$, що задовольняє умови:

• $\chi (n)\not \equiv 0$.
• $\chi (nm)=\chi (n)\chi (m)$ для будь-яких $m$ і $n$ (мультиплікативність).
• Існує натуральне число, таке що $\chi (n+k)=\chi (n)$ для будь-якого $n$ (періодичність).

Якщо деяка функція цілочислового аргументу є періодичною із періодом $k$ то вона є також періодичною із періодом $-k$. Відповідно існує найменше додатне число, що є періодом функції. Воно називається основним модулем характеру Діріхле. Всі періоди розклад яких на прості множники містить, ті ж прості числа, що містяться у основному періоді називаються модулями характеру Діріхле (і тоді функція є характером Діріхле по цьому модулю).

За допомогою класів лишків

Нехай $(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}$ — множина оборотних елементів кільця лишків $(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )$ за модулем $k\in \mathbb {N}$. Елементами є класи лишків ${\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n\mod k\}$ де числа $n$ є взаємно простими з $k$. $(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}$ є комутативною групою порядок якої дорівнює значенню функції Ейлера $\varphi (k)$. Характером Діріхле називається гомоморфізм груп:

$\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$.

Еквівалентність означень

Для гомоморфізму груп $\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$ можна ввести функцію $\chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$, як

$\chi (n)={\begin{cases}\chi ({\hat {n}})&n\in {\hat {n}},\ {\hat {n}}\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\\0&(n,k)>1\end{cases}}$

Тоді $\chi (1)=1$, тобто функція не є рівною нулю для всіх значень. Також функція є періодичною оскільки згідно означення вона приймає однакові значення на всіх елементах будь-якого класу лишків. З властивостей гомоморфізмів груп і класів лишків також випливає мультиплікативність функції. Тобто кожен характер Діріхле у другому означенні породжує характер Діріхле у першому означенні.

Навпаки, якщо $\chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ — характер Діріхле згідно першого означення і $k$ — його основний модуль то згідно періодичності він визначає відображення на класах лишків за модулем $k$. Також якщо $\chi (n)\neq 0$ для деякого $n\in \mathbb {Z}$ то $\chi (n)=\chi (n\cdot 1)=\chi (n)\cdot \chi (1)$ і тому $\chi (1)=1$. Із мультиплікативності випливає, що індукована функція на класах лишків за модулем $k$ є теж мультиплікативною.

Для того щоб довести, що кожен характер Діріхле у першому означенні породжується характером Діріхле у другому означенні достатньо довести, що $\chi (n,k)\neq 0$ якщо $n$ і $k$ є взаємно простими числами і $\chi (n,k)=0$ якщо $n$ і $k$ не є взаємно простими.

Нехай $(n,k)=1$. Тоді існують такі два цілих числа $x$ і $x$, що $nx-ky=1$. Отже, враховуючи періодичність $\chi (nx)=\chi (n)\chi (x)=1$ і тому $\chi (n)\neq 0$.

Нехай тепер $(n,k)=d>1$ і $n=n'd,\ k=k'd$. Оскільки $k'<k$, то існує таке ціле число $a$, що $\chi (a+k')-\chi (a)\neq 0$, бо в іншому випадку $k'$ було б періодом $\chi (n,k)$. Але

$\chi (d)(\chi (a+k')-\chi (a))=\chi (ad+k)-\chi (ad)=0$

Тому $\chi (d)=0$ і з мультиплікативності $\chi (n)=\chi (n')\chi (d)=0$.

Властивості

• Як було показано при доведенні еквівалентності означень $\chi (1)=1$ і $\chi (n,k)=0$ якщо $n$ і $k$ не є взаємно простими, де $k$ — основний модуль. Якщо ж $n$ і $k$ є взаємно простими, то згідно теореми Ейлера $a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$, де $\varphi$ — функція Ейлера і тому також $\chi (a)^{\varphi (n)}=1$, тобто ненульові значення характера Діріхле модуля $k$ є коренями з одиниці степеня $\varphi (k)$.
• Нехай $\chi _{1}(n),\ldots ,\chi _{m}(n)$ — характери Діріхле з основними модулями $k_{1},\ldots ,k_{m}$ відповідно. Тоді добуток $\chi _{1}(n)\cdot \ldots \cdot \chi _{m}(n)$ є характером Діріхле основний модуль якого є дільником найменшого спільного кратного чисел $k_{1},\ldots ,k_{m}$.
• Нехай $\chi (n)$ — характер Діріхле з основним модулем $k=k_{1}\cdot \ldots \cdot k_{m}$, де всі числа $k_{1},\ldots ,k_{m}$ — попарно взаємно прості. Тоді існує єдина система характерів $\chi _{1}(n),\ldots ,\chi _{m}(n)$ основні модулі яких рівні $k_{1},\ldots ,k_{m}$ і також $\chi (n)=\chi _{1}(n)\cdot \ldots \cdot \chi _{m}(n)$.
• Існує $\varphi (k)$ різних характерів по модулю $k$. Вони утворюють групу порядку $\varphi (k)$, ізоморфну мультиплікативній підгрупі $\mathbb {Z} _{k}^{*}$ оборотних елементів кільця лишків за модулем $k$.

Приклади

• Функція $\chi (n)\equiv 1$ є характером, що називається тривіальним характером.
• Характер, $\chi _{0}(n)={\begin{cases}1&(n,k)=1\\0&(n,k)>1\end{cases}}$, називається головним характером по модулю $k$. В групі характерів по модулю $k$ він є одиничним елементом.
• Нехай $k>1$ — непарне натуральне число. Введемо функцію:

$\chi (n)={\begin{cases}\left({\frac {n}{k}}\right)&(n,k)=1\\0&(n,k)>1\end{cases}}$,

де $\left({\frac {n}{k}}\right)$ — символ Якобі. Ця функція буде характером Діріхле за модулем $k$.

• Нехай $p$ — непарне просте число, $a\geqslant 1$ — натуральне число, $g$ — первісний корінь по модулю $p^{a}$ і якщо $p\not \mid n$ то $v=\operatorname {ind} _{g}n$, тобто найменше натуральне число для якого $g^{v}=1\mod p^{a}$. Нарешті, нехай число $\rho$ — будь-який корінь рівняння $\rho ^{h}=1$, де $h=\varphi (p^{a})$. Визначимо функцію $\chi (n)$ умовами:

$\chi (n)={\begin{cases}\rho ^{v}&(n,p)=1,\ \\0&(n,p)>1\end{cases}}$

Ця функція є характером по модулю $p^{a'}$, де $a'\leqslant a$.

• Нехай $k$ — натуральне число і $k=2^{a}p_{1}^{a_{1}}\ldots p_{m}^{a_{m}}$ — його розклад на прості множники. Нехай $C=C_{0}=1$, якщо $a=0$ або $a=1$ і $C=2,\ C_{0}=2^{a-2}$, якщо $a>1$. Нехай також $C_{i}=\varphi (p_{i}^{a_{i}}),\;i\in 1,\ldots ,m$ і $v_{i}=\operatorname {ind} n,\;i\in 1,\ldots ,m$ — індекси, як вище (відповідно по модулях $p_{i}^{a_{i}}$), а $v,v_{0}$ — найменші натуральні числа для яких $n=(-1)^{v}5^{v_{0}}\mod 2^{a}$. Якщо — $\rho ,\rho _{0},\rho _{1},\ldots ,\rho _{m}$ — корені з одиниці степенів $C,C_{0},C_{1},\ldots ,C_{m}$, то функція

$\chi (n)={\begin{cases}\rho ^{v}\rho _{0}^{v_{0}}\rho _{1}^{v_{1}}\ldots \rho _{m}^{v_{m}}&(n,p)=1,\ \\0&(n,p)>1\end{cases}}$

є характером Діріхле за модулем $k$. Вибираючи різні корені з одиниці одержуються усі $\varphi (k)$ характери Діріхле за модулем $k$.

Основні співвідношення

$\sum \limits _{n=1}^{k}{\chi (n)}=\left\{{\begin{array}{ll}\varphi (k),&\chi =\chi _{0};\\0,&\chi \neq \chi _{0}.\end{array}}\right.$;

$\sum \limits _{\chi }{\chi (n)}=\left\{{\begin{array}{ll}\varphi (k),&n\equiv 1{\pmod {k}};\\0,&n\not \equiv 1{\pmod {k}}.\end{array}}\right.$, де сума є за всіма характерами.

Відношення ортогональності:

${\frac {1}{\varphi (k)}}\sum \limits _{\chi }{\chi (n)}{\chi (l)}=\left\{{\begin{array}{ll}1,&n\equiv l{\pmod {k}};\\0,&n\not \equiv l{\pmod {k}}.\end{array}}\right.$

Відповідно при інтерпретації характера Діріхле як гомоморфізму груп $\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$, характери Діріхле утворюють ортогональну базу усіх характерів групи $(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}$.

Примітивний характер

Нехай $\chi (n,k)$ — характер Діріхле за модулем $k$. Найменший дільник $d$ числа $k$ такий, що для всіх цілих чисел $a,b$ таких що $(a,k)=1$, $(b,k)=1$ і $a\equiv b\mod d$ виконується $\chi (a,k)=\chi (b,k)$ називається провідним модулем або кондуктором характера.

Якщо кондуктор характера Діріхле за модулем $k$ є рівним $k$, то характер називається примітивним.

Якщо $\chi (n,k)$ — непримітивний характер кондуктора $d$, то існує примітивний характер $\chi ^{*}(n,d)$ з модулем $d$, що породжує (індукує) характер $\chi (n,k)$, тобто:

$\chi (n,k)={\begin{cases}\chi ^{*}(n,d)&(n,k)=1\\0&(n,k)>1\end{cases}}.$

Характер $\chi (n,k)$ є примітивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа $d$, що ділить $k$ і $d<k$, існує ціле число $a$, що задовольняє умови:

$a\equiv 1\mod d,\;\chi (a,k)\neq 1$.

У термінах гомоморфізмів груп характер $\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$ називається примітивним, якщо не існує власного дільника $d$ числа $k$, характера $\chi ^{*}:(\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$ і гомоморфізму $\psi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{*}$ для яких $\chi =\chi ^{*}\circ \psi .$

Див. також

• Сума Гаусса
• L-функція Діріхле

Література

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — Москва: УРСС, 2004.
• Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.