Хіральний вузол

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В теорії вузлів хіральний вузол — це вузол, який не еквівалентний своєму дзеркальному відображенню. Орієнтований вузол, еквівалентний своєму дзеркальному відображенню, називається амфіхіральним вузлом або ахіральним вузлом. Хіральність вузла є інваріантом вузла. Хіральність вузлів можна далі класифікувати в залежності від того, оборотний він чи ні.

Існує лише 5 типів симетрій вузлів, які визначаються хіральністю і оборотністю — повністю хіральний, оборотний, додатно амфіхіральний незворотний, від'ємно амфіхіральний незворотний і повністю амфіхіральний оборотний[1].

Історія питання[ред. | ред. код]

Хіральність деяких вузлів давно припускалась і доведена Максом Деном 1914 року. П. Г. Тет висловив гіпотезу, що всі амфіхіральні вузли мають парне число перетинів, але Морвен Тіслвейт[en] 1998 року знайшов контрприклад[2]. Однак гіпотеза Тета доведена для простих альтернованих вузлів[3].

Число вузлів кожного виду хіральності для кожного числа перетинів
Число перетинів 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 OEIS sequence
Хіральні вузли 1 0 2 2 7 16 49 152 552 2118 9988 46698 253292 1387166 N / A
Двосторонні вузли 1 0 2 2 7 16 47 125 365 1015 3069 8813 26712 78717 A051769
Повністю хіральні вузли 0 0 0 0 0 0 2 27 187 1103 6919 37885 226580 1308449 A051766
Амфіхіральні вузли 0 1 0 1 0 5 0 13 0 58 0 274 1 1539 A052401
Додатно амфіхіральні вузли 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 0 65 A051767
Від'ємно амфіхіральні вузли 0 0 0 0 0 1 0 6 0 40 0 227 1 1361 A051768
Повністю амфіхіральніе вузли 0 1 0 1 0 4 0 7 0 17 0 41 0 113 A052400

Найпростіший хіральний вузол — трилисник, хіральність якого показав Макс Ден. Всі торичні вузли хіральні. Многочлен Александера не може визначити хіральність вузла, а ось многочлен Джонса в деяких випадках може. Якщо V k (q)V k (q −1), то вузол хіральний, проте зворотне не обов'язково істинне. Многочлен HOMFLY[en] ще краще розпізнає хіральність, але поки не відомо поліноміального інваріанта вузла, який би повністю визначав хіральність[4].

Двосторонній вузол[ред. | ред. код]

Оборотний хіральний вузол називається двостороннім. Один з прикладів двосторонніх вузлів — трилисник.

Повністю хіральний вузол[ред. | ред. код]

Якщо вузол не еквівалентний ні своєму оберненому, ні своєму дзеркальному образу, він називається повністю хіральним; приклад — вузол 9 32[5].

Амфіхіральний вузол[ред. | ред. код]

Вісімка є найпростішим амфіхіральним вузлом.

Амфіхіральний вузол— це вузол, який має автогомеоморфізм α 3-сфери, який обертає орієнтацію і фіксує вузол як множину.

Всі амфіхіральні альтерновані вузли мають парне число перетинів . Перший амфіхіральний вузол з непарним числом перетинів, а саме з 15 перетинами, знайшов Хосте (Hoste) та ін.[3]

Повна амфіхіральність[ред. | ред. код]

Якщо вузол ізотопний своєму оберненому і своєму дзеркальному образу, його називають повністю амфіхіральним. Найпростішим вузлом з цією властивістю є вісімка.

Додатна амфіхіральність[ред. | ред. код]

Якщо автогомеоморфізм α зберігає орієнтацію вузла, кажуть про додатну амфіхіральність. Це еквівалентно ізотопності вузла своєму дзеркальному відображенню. Жоден із вузлів з числом перетинів меншим від дванадцяти не є додатно амфіхіральним[5].

Від'ємна амфіхіральність[ред. | ред. код]

Перший від'ємно амфіхіральний вузол.

Якщо автогомеоморфізм α обертає орієнтацію вузла, кажуть про від'ємну амфіхіральність. Це еквівалентно ізотопності вузла оберненому дзеркальному відображенню. Вузол з цією властивістю з найменшим числом перетинів — це 817[5].

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]