Центр групи

В абстрактній алгебрі центром групи G (позначається Z(G)) називають множину елементів, що комутують з усіма елементами групи G, тобто:

$Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz,\forall g\in G\}$.

Очевидно, що група буде абелевою(комутативною) тоді і тільки тоді, коли Z(G) = G. З іншої сторони, якщо центр групи містить лишень нейтральний елемент, то група називається групою без центру.

Властивості

• Z(G) є підгрупою групи G:

Нейтральний елемент належить центру, $e\in Z(G),$ оскільки $eg=g=ge,\quad \forall g\in G$;

Добуток двох елементів з центра належить центру. Якщо $x,y\in Z(G)$ тоді $(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy),\forall g\in G$, отже $xy\in Z(G)$;

Обернений до елемента центра належить центру. Якщо $e\in Z(G),$ то gx = xg. Домноживши обидві сторони рівності зліва і справа на x^-1 одержимо x⁻¹g = gx⁻¹, звідки $x^{-1}\in Z(G).$

• Підгрупа $\ Z(G)$ є абелевою і нормальною.

• Факторгрупа $\ G/Z(G)$ ізоморфна групі внутрішніх автоморфізмів групи G, тобто групі відображень:$\phi _{g}(h)=ghg^{-1}\,$

Дійсно функцію f: G → Aut(G) можна задати наступним чином: f(g) = φ_g. Очевидно, що дане відображення є гомоморфізмом груп. Якщо $g\in Z(G),$ то $\phi _{g}(h)=ghg^{-1}=hgg^{-1}=h,\forall h\in G\,$ тобто центр групи є підмножиною ядра гомоморфізму. З іншого боку елементи групи, що не належать центру не є ядром оскільки тоді $\exists h\in G,$ що $\phi _{g}(h)=ghg^{-1}\neq hgg^{-1}=h$ тобто образом відображення не є одиничний автоморфізм. Остаточно з теореми про ізоморфізм груп маємо:

$G/Z(G)\cong {\rm {{Inn}(G).}}$

• Якщо факторгрупа $\ G/Z(G)$ циклічна, то G  — абелева.

Дійсно, згідно з означенням циклічної групи маємо, що для деякого $g\in Z(G)$ виконується рівність $G/Z(G)=\langle gZ(G)\rangle$ тому $G=Z(G)\langle g.\rangle$ Зважаючи, що група $\langle g\rangle$ є абелева маємо, що будь-які елементи групи G комутують.

Приклади

• Центром групи квадратних матриць розміру n над полем F з ненульовим визначником є множина скалярних матриць: $\{sI_{n}|s\in F\setminus \{0\}\}.$
• Групи перестановок (симетричні групи) S_n для n ≥ 3 є групами без центру.
• Групи парних перестановок (знакозмінні групи) A_n для n ≥ 4 є групами без центру.
• Прості неабелеві групи є групами без центру.

Дійсно за означенням єдиними нормальними підгрупами даних груп є тривіальні групи і самі ці групи. Зважаючи, що центр є нормальною підгрупою і група некомутативна маємо, що центр рівний тривіальній групі.

Центри вищих порядків

Визначимо послідовність підгруп:

$G_{0}=G,G_{1}=G_{0}/Z(G_{0}),G_{2}=G_{1}/Z(G_{1})\cdots$

Ядро відображення $G\to G_{i}$ називається i-тим центром групи G і позначається $Z^{i}(G)$. Послідовність:

$1\leq Z(G)\leq Z^{2}(G)\leq \cdots$

стабілізується ($Z^{i}(G)=Z^{i+1}(G)$)тоді й лише тоді коли $G_{i}$ є групою без центру.

Див. також

• Норма (теорія груп)

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)