Центр групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі центром групи G (позначається Z(G)) називають множину елементів, що комутують з усіма елементами групи G, тобто:

Z(G) = \{z \in G \mid zg = gz, \forall g \in G \}.

Очевидно, що група буде абелевою(комутативною) тоді і тільки тоді, коли Z(G) = G. З іншої сторони, якщо центр групи містить лишень нейтральний елемент, то група називається групою без центру.

Властивості[ред.ред. код]

Нейтральний елемент належить центру, e \in Z(G), оскільки eg=g=ge, \quad \forall g \in G;
Добуток двох елементів з центра належить центру. Якщо x,y \in Z(G) тоді (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy), \forall g \in G, отже xy \in Z(G);
Обернений до елемента центра належить центру. Якщо e \in Z(G), то gx = xg. Домноживши обидві сторони рівності зліва і справа на x-1 одержимо x−1g = gx−1, звідки x^{-1} \in Z(G).
Дійсно функцію f: G → Aut(G) можна задати наступним чином: f(g) = φg. Очевидно, що дане відображення є гомоморфізмом груп. Якщо g \in Z(G), то \phi_g(h) = ghg^{-1}=hgg^{-1}=h, \forall h \in G \, тобто центр групи є підмножиною ядра гомоморфізму. З іншого боку елементи групи, що не належать центру не є ядром оскільки тоді \exists h \in G, що \phi_g(h) = ghg^{-1}\neq hgg^{-1}=h тобто образом відображення не є одиничний автоморфізм. Остаточно з теореми про ізоморфізм груп маємо:
G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G).
  • Якщо факторгрупа \ G/Z(G) циклічна, то G  — абелева.
Дійсно, згідно з означенням циклічної групи маємо, що для деякого g \in Z(G) виконується рівність G/Z(G)=\langle gZ(G)  \rangle тому G=Z(G)\langle g.  \rangle Зважаючи, що група \langle g  \rangle є абелева маємо, що будь-які елементи групи G комутують.

Приклади[ред.ред. код]

  • Центром групи квадратних матриць розміру n над полем F з ненульовим визначником є множина скалярних матриць: \{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}.
  • Групи перестановок (симетричні групи) Sn для n ≥ 3 є групами без центру.
  • Групи парних перестановок (знакозмінні групи) An для n ≥ 4 є групами без центру.
  • Прості неабелеві групи є групами без центру.
Дійсно за означенням єдиними нормальними підгрупами даних груп є тривіальні групи і самі ці групи. Зважаючи, що центр є нормальною підгрупою і група некомутативна маємо, що центр рівний тривіальній групі.

Центри вищих порядків[ред.ред. код]

Визначимо послідовність підгруп:

G_0 = G , G_1 = G_0/Z(G_0) , G_2 = G_1/Z(G_1) \cdots

Ядро відображення G \to G_i називається i-тим центром групи G і позначається Z^i(G). Послідовність:

1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots

стабілізується (Z^i(G) = Z^{i+1}(G))тоді й лише тоді коли G_i є групою без центру.

Література[ред.ред. код]