Цикл (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, і зокрема в теорії груп, цикл — переставка елементів деякої множини X, яка відображає елементи деякої підмножини S в X один в інший циклічним чином, тоді як інші елементи X залишаються фіксованими. Наприклад, переставка {1, 2, 3, 4}, що переставляє 1 в 3, 2 в 4, 3 в 2 і 4 в 1 є циклом, тоді як переставка 1 в 3, 2 в 4, 3 в 1 і 4 в 2 ні (це окремі пари {1, 3} і {2, 4}). Множина S називається орбітою циклу.

Визначення[ред.ред. код]

Переставка множини X, яка бієктивною функцією , називається циклом, якщо дія на X підгрупи утвореної має саме одну орбіту з більш як одним елементом. Це поняття найчастіше вживають коли X скінченна множина; тоді й орбіта S скінченна. Нехай довільний елемент з S, і покладемо для будь-якого . З того, що по припущенню S містить більше ніж один елемент, ; якщо S скінченна, існує мінімальне число для якого . Тоді , і є переставка визначена

і для будь-якого елементу з . Елементи не зафіксовані можна зобразити як

.

Цикл можна записати за допомогою циклічного запису (коми тут не вживаються з метою уникнення плутанини з k-кортежем). Довжина циклу — це кількість елементів його орбіти. Цикл довжини k також звуть k-цикл.

Основні властивості[ред.ред. код]

Один з головних вислідів у симетричних групах стверджує, що будь-яку переставку можна виразити як добуток неперетинних циклів (точніше: циклів з неперетинними орбітами); такі цикли комутують між собою, і вираз переставки унікальний з точністю до порядку циклів (але зверніть увагу, що циклічний запис не унікальний: кожен k-цикл сам по собі може бути представлений k різними способами, в залежності від вибору в його орбіті). Отже мультимножина довжин циклів в цьому виразі унікально визначає переставку, парність і клас спряженості переставки в симетричній групі також визначаються цим.

Кількість k-циклів у симетричній групі Sn для дається такими тотожними формулами

k-цикл має парність (−1)k − 1.

Транспозиції[ред.ред. код]

Цикл з лише двома елементами називається транспозицією. Наприклад переставка {1, 4, 3, 2}, яка переводить 1 в 1, 2 в 4, 3 в 3 і 4 в 2 — це транспозиція (а саме така, що міняє місцями 2 і 4).


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.