Ціле розширення кільця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

де . Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

  1. R[x] є скінченно породженим R-модулем ;
  2. існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

Приклади[ред.ред. код]

  • Цілий елемент є алгебраїчним над R.
  • Якщо Rполе, то вірним є і зворотне твердження.
  • Елементи поля комплексних чисел , цілі над кільцем , називаються цілими алгебраїчними числами.
  • Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент є цілим над R, тобто розширення є цілим (зворотне може не бути вірним).

Властивості[ред.ред. код]

  • Нехай кільце — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.
  • Якщо B є цілим над R і R' — деяка R-алгебра, то є цілим над R'.
  • Якщо В — ціле розширення кільця R і S — деяка мультиплікативна підмножина в R, локалізація S-1B є цілим розширенням локалізації S-1R.
Нехай , де . Тоді, оскільки розширення є цілим, для виконується рівність для деяких . Як наслідок і оскільки всі , то дана рівність є рівнянням цілої залежності елемента над кільцем . Оскільки елемент був обраний довільно, отримуємо необхідгий результат.
  • Нехай розширення є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення і .
  • Якщо В — ціле розширення кільця R, J — ідеал кільця В і . Тоді факторкільце буде цілим розширенням факторкільця .
Позначимо . Для виконується рівність для деяких . Перейшовши до факторкільця по ідеалу J і ідентифікуючи як підкільце , отримуємо рівність , яка і є необхідним рівнянням цілої залежності.
Припустимо, що R є полем і . для деяких . Степінь многочлена n можна вибрати мінімальним. Тоді , оскільки A є областю цілісності і для нього існує обернений елемент адже він належить полю R. Тому , тож для існує обернений елемент рівний , що завершує першу частину доведення.
Навпаки, припустимо, що A є полем і . Тоді для як елемента поля A в цьому полі існує обернений елемент. Позначимо Для існує рівняння цілої залежності над R: для деяких . Домноживши обидві сторони рівняння на отримаємо рівність Звідси бачимо, що елемент є оберненим до і належить R. Тобто R теж є полем.
  • Нехай — ціле розширення кілець, простий ідеал кільця A і Тоді ідеал є максимальним тоді і тільки тоді коли ідеал є максимальним.
Згідно попередніх властивостей факторкільце є цілим розширенням факторкільця . Оскільки оба ідеали є простими, то ці факторкільця є областями цілісності. Згідно попередньої властивості є полем тоді і тільки тоді, коли є полем і необхідний результат випливає з того, що ідеал є максимальним тоді і тільки тоді коли факторкільце по ньому є полем.
  • Нехай — ціле розширення кілець, — прості ідеали кільця A і . Тоді .
Локалізація (по мультиплікативній множині ) є цілим розширенням локалізації . Також є простими ідеалами кільця . Оскільки і останній ідеал є максимальним в , то за попередньою властивістю і теж є максимальними ідеалами у . Тому , звідки також .
  • Нехай A — ціле розширення R і — деякий простий ідеал кільця R. Тоді існує простий ідеал кільця A, що лежить над (тобто такий, що ).
Гомоморфізм включення однозначно задає гомоморфізм включення локалізацій Нехай M — довільний максимальний ідеал кільця . З попередніх властивостей його перетин має бути максимальним ідеалом кільця , тобто
Ідентифікуємо тепер R і A із підкільцями у виду . Тоді . Але , а . Ідеал є простим ідеалом кільця A для якого , тобто даний ідеал задовольняє вимоги теореми.
  • Теорема про підняття. Нехай — ціле розширення кілець, — послідовність простих ідеалів кільця R і — послідовність простих ідеалів кільця A, для яких . Тоді існують прості ідеали кільця A, такі що і.
Очевидно теорему достатньо довести для n =2, m =1. Загальний результат тоді випливає за допомогою математичної індукції.
При тих же позначеннях, що і вище факторкільце є цілим розширенням факторкільця і є простим ідеалом кільця . Тому існує простий ідеал кільця , що лежить над . Згідно властивостей факторкілець цей ідеал має вигляд де є простим ідеалом кільця A для якого . Очевидно, що
  • Якщо Lскінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.

Література[ред.ред. код]