Ціле розширення кільця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

де . Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

  1. R[x] є скінченно породженим R-модулем ;
  2. існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

Приклади[ред.ред. код]

  • Цілий елемент є алгебраїчним над R.
  • Якщо Rполе, то вірним є і зворотне твердження.
  • Елементи поля комплексних чисел , цілі над кільцем , називаються цілими алгебраїчними числами.
  • Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент є цілим над R (зворотне може не бути вірним).

Властивості[ред.ред. код]

  • Нехай кільце — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.
  • Нехай В — ціле розширення R і — деякий простий ідеал кільця R. Тоді і існує простий ідеал кільця B, що лежить над (тобто такий, що ). Ідеал є максимальним тоді і тільки тоді, коли максимальним є . Якщо Lскінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.
  • Нехай розширення є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення і .

Література[ред.ред. код]