Ціле алгебраїчне число

Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема дійсні) корені многочленів з цілими коефіцієнтами і із старшим коефіцієнтом, рівним одиниці.

Приклади цілих алгебраїчних чисел

• Ґаусові цілі числа.
• Корені з одиниці — корені многочлена $x^{n}-1$ над полем комплексних чисел.
• Всі раціональні числа, що входять в $\Omega$, є цілими числами. Іншими словами, жоден нескоротний дріб $m/n$ із знаменником, більшим ніж одиниця, не може бути цілим алгебраїчним числом.

Властивості

• По відношенню до додавання і множення комплексних чисел, цілі алгебраїчні числа утворюють кільце $\Omega$. Очевидно $\Omega$ є підкільцем поля алгебраїчних чисел і містить всі звичайні цілі числа. Дане кільце є кільцем Дедекінда.
• Нехай $u$ — деяке комплексне число. Розглянемо кільце $\mathbb {Z} [u]$, породжене додаванням $u$ до кільця звичайних цілих чисел $\mathbb {Z}$. Воно утворене всілякими значеннями $f(u)$, де $f(z)$ — многочлен з цілими коефіцієнтами. Тоді має місце наступний критерій: число $u$ є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді, коли $\mathbb {Z} [u]$ — скінченнопороджена абелева група.

• $\alpha \in K$ є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді коли існує скінченнопороджений $\mathbb {Z}$-підмодуль $M\subset \mathbb {C}$ такий що $\alpha M\subseteq M$.

• Для кожного алгебраїчного числа $u$ існує натуральне число $n$ таке, що $nu$ — ціле алгебраїчне число. Тобто поле алгебраїчних чисел є полем часток кільця цілих алгебраїчних чисел.
• Як і для всіх алгебраїчних чисел для довільного цілого алгебраїчного числа $\alpha$ існує мінімальний многочлен, тобто многочлен $f(x)\in \mathbb {Q} [x]$ найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого виконується f(α) = 0. Для цілих алгебраїчних чисел і тільки для них при цьому всі коефіцієнти цього многочлена насправді будуть цілими числами, тобто $f(x)\in \mathbb {Z} [x].$ Всі інші корені f(x) теж будуть цілими алгебраїчними числами для яких f(x) буде мінімальним многочленом. Такі числа називаються спряженими до $\alpha$.
• Корені многочлена з цілими алгебраїчними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом 1 є цілими алгебраїчними числами, зокрема корінь будь-якого степеня з цілого алгебраїчного числа теж є цілим алгебраїчним числом.
• Кільце цілих алгебраїчних чисел є цілозамкнутим. Воно є цілим замиканням кільця $\mathbb {Z}$ звичайних (раціональних цілих чисел.)
• Кільце цілих алгебраїчних чисел є кільцем Безу.
• Дійсні цілі алгебраїчні числа утворюють всюди щільну підмножину дійсних чисел.

Одиниці (оборотні елементи) кільця цілих алгебраїчних чисел

Ціле алгебраїчне число ε називається алгебраїчною одиницею (коротко — одиницею), якщо воно є оборотним в кільці цілих алгебраїчних чисел, тобто якщо 1/ε — ціле алгебраїчне число. Одиниця ділить будь-яке ціле алгебраїчне число. Число, обернене до одиниці теж є одиницею; числа спряжені з одиницею, є одиницями; кожен дільник одиниці є одиницею; добуток скінченної кількості одиниць є одиницею. Ціле алгебраїчне число буде одиницею тоді і тільки тоді, коли добуток всіх його спряжених рівне $\pm 1$. Корені k-го степеня з числа 1 є одиницями, причому кожна з них по модулю рівна 1. Існує нескінченна множина інших одиниць, не рівних по модулю 1. Наприклад, числа $2-{\sqrt {3}}$ і $2+{\sqrt {3}}$ є одиницями як корені многочлена $x^{2}-4x+1\,$.

Два цілих алгебраїчних числа називаються асоційованими якщо вони відрізняються множником, що є одиницею. Є ще одна важлива відмінність кільця цілих алгебраїчних чисел від кільця цілих раціональних чисел. У першому не можна ввести поняття нерозкладного цілого числа (аналог простого числа). Це випливає хоч би з того, що корінь з будь-якого цілого алгебраїчного числа є цілим алгебраїчним числом.

Посилання

• Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій [Архівовано 17 січня 2015 у Wayback Machine.]
• M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes