Числа Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Числа Бернулі — послідовність раціональних чисел знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

,

де  — Біноміальний коефіцієнт.

Формула для чисел Бернуллі[ред.ред. код]

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула:

Властивості[ред.ред. код]

  • Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім , дорівнюють нулю, знаки міняються.
  • Числа Бернуллі є значеннями при многочленів Бернуллі: .

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

,
  • ,
  • .
  • Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана при парних :
Із чого випливає
для всіх n.

У математиці, числа Бернуллі Bn є послідовністю раціональних чисел, яка глибоким пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є Bn = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B1 = −1/2, але деякі автори використовують B1 = +1/2 і деякі пишуть Bn для B2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Bn 1 −1/2 1/6 0 −1/30 0 1/42 0 −1/30 0 5/66 0 −691/2730 0 7/6

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році [1][2] у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера-Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

Значення чисел Бернуллі[ред.ред. код]

BN = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B 1 = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Selin, H. (1997), p. 891
  2. Smith, D. E. (1914), p. 108

Література[ред.ред. код]

Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.