Числа Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
B_0=1
B_1=-\frac12
B_2=\frac16
B_3=0
B_4=-\frac1{30}
B_5=0
B_6=\frac1{42}
B_7=0
B_8=-\frac1{30}
B_9=0
B_{10}=\frac5{66}
B_{11}=0
B_{12}=-\frac{691}{2730}
B_{13}=0
B_{14}=\frac76
B_{15}=0
B_{16}=-7\frac{47}{510}

Числа Бернулі — послідовність раціональних чисел B_0, B_1, B_2,... знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^kC^s_{k+1}B_s N^{k+1-s},

де C^k_n — Біноміальний коефіцієнт.

Формула для чисел Бернуллі[ред.ред. код]

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула: B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}C_{n+1}^{k+1}B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}

Властивості[ред.ред. код]

  • Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім B_1, дорівнюють нулю, знаки B_{2n} міняються.
  • Числа Бернуллі є значеннями при x=0 многочленів Бернуллі: B_n = B_n(0).

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi,
B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.
Із чого випливає
B_n=-n\zeta(1-n) для всіх n.
  • \int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|, n=1,2,...

У математиці, числа Бернуллі Bn є послідовністю раціональних чисел, яка глибоким пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є Bn = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B1 = −1/2, але деякі автори використовують B1 = +1/2 і деякі пишуть Bn для B2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Bn 1 −1/2 1/6 0 −1/30 0 1/42 0 −1/30 0 5/66 0 −691/2730 0 7/6

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році [1][2] у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера-Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

Значення чисел Бернуллі[ред.ред. код]

BN = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B 1 = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Selin, H. (1997), p. 891
  2. Smith, D. E. (1914), p. 108

Література[ред.ред. код]