Числа Ейлера

Не плутати з числами Єйлера I рода.

Числа Ейлера — у математиці — послідовність e n цілих чисел (послідовність A122045 в OEIS), що визначається розкладанням ряду Тейлора, де cosht — гіперболічний косинус.

{\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}

,

Числа Ейлера пов'язані зі спеціальним значенням многочленів Ейлера, а саме:

E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).

Числа Ейлера з'являються в розширеннях ряду Тейлора секансом і гіперболічним секансом функцій. Останнє є функцією у визначенні. Вони також зустрічаються в комбінаториці, зокрема при підрахунку кількості перестановок множини з парним числом елементів, які чергуються.

Приклади

Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють нулю. Парні індексовані (послідовність A028296 в OEIS) мають змінні знаки. Деякі значення

E₀	=	1
E₂	=	−1
E₄	=	5
E₆	=	−61
E₈	=	1385
E₁₀	=	−50521
E₁₂	=	2702765
E₁₄	=	−199360981
E₁₆	=	19391512145
E₁₈	=	−2404879675441

Деякі автори повторно індексують послідовність, щоб пропустити непарні числа Ейлера з нульовим значенням, або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується прийнятої вище угоди.

Явні формули

Як ітераційна сума

Явною формулою для номерів Ейлера є:^[1]

E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}

де i означає уявну одиницю з $i 2 = -1$ .

Як сума над розділами

Число Ейлера E2n можна виразити у вигляді суми над парним розбиттям $2 n$ ,^[2]

E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},

а також суму за непарним розбиттям $2 n - 1$ ,^[3]

E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},

де в обох випадках $K = k 1 + \cdot\cdot\cdot + k n$ та

\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}

є багаточленним коефіцієнтом. Дельта Кронекера у вищенаведених формулах обмежує суми над $k$ s to $2 k 1 + 4 k 2 + \cdot\cdot\cdot + 2 nk n = 2 n$ та до $k 1 + 3 k 2 + \cdot\cdot\cdot + (2 n - 1) k n = 2 n - 1$ , відповідно.

Як приклад,

{\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\&=-50\,521.\end{aligned}}

Як визначник

$E 2 n$ також дається визначником

{\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}

Асимптотичне наближення

Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу

|E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.

Ейлерові зигзагоподібні числа

Ряд Тейлора $sec x + tan x$ є

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},

де $A n$ — зигзагоподібні числа Ейлера^[en], починаючи з

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність A000111 в OEIS)

Для всіх парних $n$ ,