Числа Ейлера

Не плутати з числами Єйлера I роду.

Числа́ Е́йлера (англ. Euler numbers) — у математиці це послідовність цілих чисел $E_{n}$ (послідовність A000364 в OEIS), що визначається розкладом у ряд Тейлора для функції гіперболічного секанса:

${\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}$

Числа Ейлера з непарними індексами дорівнюють нулю. Числа з парними індексами (послідовність A000364 в OEIS) мають знаки, що чергуються.

Вони тісно пов'язані зі значеннями многочленів Ейлера $E_{n}(x)$ у точці x=1/2:

$E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}})$

Числа Ейлера з'являються в розкладах функцій секанса та гіперболічного секанса. Окрім того, вони знаходять застосування в комбінаториці, зокрема під час підрахунку кількості чергуючих перестановок для множин із парною кількістю елементів.

Приклади

Оскільки всі непарні нульові числа Ейлера дорівнюють нулю, основну увагу приділяють парноіндексованим числам ($E_{2n}$), які іноді називають секансними числами (послідовність A000364 в OEIS).

Перші декілька ненульових значень:

$E_{n}$	Значення
$E_{0}$	1
$E_{2}$	−1
$E_{4}$	5
$E_{6}$	−61
$E_{8}$	1385
$E_{10}$	−50521
$E_{12}$	2702765
$E_{14}$	−199360981
$E_{16}$	19391512145
$E_{18}$	−2404879675441

Деякі автори змінюють індексацію, щоб опустити нульові непарні члени, або змінюють знаки на додатні. Ця стаття дотримується наведеної вище конвенції.

Явні формули

Формула через суму

Явна формула для обчислення чисел Ейлера, яка включає суму біноміальних коефіцієнтів та уявної одиниці:

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}$

Інтегральне представлення

Модуль чисел Ейлера можна виразити через певні інтеграли, що демонструє їхній зв'язок з аналізом:

$$E_{2n}=(-1)^{n}2^{2n+1}\int _{0}^{\infty }t^{2n}\operatorname {sech} (\pi t)\,dt$$

Рекурентні співвідношення

Числа Ейлера задовольняють рекурентні співвідношення, що дозволяють обчислювати їхнє значення, спираючись на попередні члени послідовності:

$$E_{2n}=-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}E_{2k}$$ Або в еквівалентній формі: $$\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2k}=0\quad {\text{для }}n\geq 1$$

Примітка: $E_{0}=1$.

Зв'язок з числами Бернуллі

Числа Ейлера тісно пов'язані з числами Бернуллі ($B_{n}$) і можуть бути виражені через них за допомогою наступної формули:

$$E_{n-1}={\frac {(4B+3)^{[n]}-(4B+1)^{[n]}}{2^{n}}}\quad [n\geq 1]$$

Комбінаторна інтерпретація

Числа Ейлера мають глибоку комбінаторну інтерпретацію. Зокрема, ненульові числа Ейлера $E_{2n}$ (послідовність A000364 в OEIS) відповідають кількості чергуючих перестановок (також відомих як «вгору-вниз-вгору-вниз» перестановки) множини $\{1,2,\ldots ,2n\}$.

Чергуюча перестановка — це перестановка $\sigma =(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m})$ така, що $\sigma _{1}<\sigma _{2}>\sigma _{3}<\sigma _{4}>\ldots$ або $\sigma _{1}>\sigma _{2}<\sigma _{3}>\sigma _{4}<\ldots$.

Подібним чином, зигзаг-числа $A_{n}$ (послідовність A000111 в OEIS), які тісно пов'язані з числами Ейлера, є кількістю таких чергуючих перестановок для множини $\{1,2,\ldots ,n\}$ (без обмеження на парність індексу).

Як приприклад, для множини $\{1,2,3,4\}$ існує $E_{4}=5$ чергуючих перестановок:

• $(1,3,2,4)$ ($1<3>2<4$)
• $(1,4,2,3)$ ($1<4>2<3$)
• $(2,3,1,4)$ ($2<3>1<4$)
• $(2,4,1,3)$ ($2<4>1<3$)
• $(3,4,1,2)$ ($3<4>1<2$)

Через подвійні суми

Ненульові числа Ейлера $E_{2k}$ також можна подати у вигляді явних подвійних сум. У статті Чун-Фу Вея та Фена Ці «Several closed expressions for the Euler numbers» (2015) представлено декілька таких виразів:

• $$E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k}$$

• $$E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(-1)^{i}{\frac {1}{2^{i}}}\sum _{\ell =0}^{2i}(-1)^{\ell }{\binom {2i}{\ell }}(i-\ell )^{2k}$$

Розклад секанса

Функція секанса ($\sec(x)$) має розклад у ряд Тейлора (який є рядом Маклорена), де коефіцієнтами виступають саме числа Ейлера:

$$\sec(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$$

Формула через визначник

$E_{2n}$ також можна обчислити через визначник:

$$E_{2n}=(-1)^{n}(2n)!{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&0&\cdots &0\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&\ddots &\vdots \\{\frac {1}{6!}}&{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}$$

У цій матриці Гессенберга для наочності додано нулі, що відображають її особливу структуру.

Асимптотичне наближення

Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів. Їхня асимптотична формула, яка описує поведінку функції при великих значеннях аргументу, має вигляд:

$$|E_{2n}|\sim 8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}$$

Зигзаг-числа (числа Андре)

Розклад у ряд Тейлора для функції $\sec(x)+\tan(x)$ породжує зигзаг-числа (або чергуючі числа), що позначаються $A_{n}$:

$$\sec(x)+\tan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n}$$

Ці числа (послідовність A000111 в OEIS) починаються з: 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, ...

Зигзаг-числа ($A_{n}$) мають замкнену форму, що задається через числа Ейлера ($E_{n}$) та числа Бернуллі ($B_{n}$):

$$A_{n}={\begin{cases}i^{n}E_{n}&{\text{для парних }}n;\\-{\frac {(2i)^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}}&{\text{для непарних }}n.\end{cases}}$$

Див. також

• Стала Ейлера — Маскероні
• Число Белла
• Числа Бернуллі

Зовнішні посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Euler numbers, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Euler number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.