Числа Ферма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці числом Ферма називається число виду:

де n — невід'ємне ціле число.
Перші дев'ять чисел Ферма:

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297
= 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617
= 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457
= 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937
= 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321.

Властивості[ред. | ред. код]

Перша й третя рівність перевіряються за допомогою елементарних операцій.
Четверту рівність можна довести методом математичної індукції:

твердження очевидно правильне для n=1 : F1 = F0 +2;
якщо припустити істинність для декого цілого n, тоді:
що завершує доведення 4-ї рівності.

Друга рівність може бути зведена до четвертої:

де двічі застосовано четверту рівність.

Це твердження випливає з останньої рекурсії. Справді, жодне з чисел Ферма не є парним, а якщо Fn і Fi, де n>i, взаємно-прості, тоді з попереднього маємо, що Отже, їх спільний дільник має ділити 2, що неможливо для непарних чисел.

  • Жодне число Ферма не є сумою двох простих чисел, за винятком F1 = 2 + 3.
  • Правильний n-кутник можна побудувати за допомогою циркуля й лінійки тоді і лише тоді, коли , де  — різні прості числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
  • Серед чисел виду простими можуть бути тільки числа Ферма. Справді, якщо у є непарний дільник , то згідно з теоремою Безу:
і тому не є простим.
  • Простота чисел Ферма ефективно визначається за допомогою тесту Папена: Число Fm просте тоді й тільки тоді, коли число ділиться на Fm[1].
  • Теорема Лукаса: всі прості дільники числа Ферма Fn, де n>1, мають вигляд k×2n+2+1.

Прості числа Ферма[ред. | ред. код]

Французький математик П'єр Ферма, на честь якого названо ці числа, висунув гіпотезу, що всі вони прості. Проте Леонард Ейлер визначив, що F5 = 4294967297 = 641 × 6700417. Зараз відомо лише 5 простих чисел Ферма: , інших таких чисел після Ферма знайдено не було. Відомо, що не є простими для . Залишаються відкритими питання про існування інших простих чисел Ферма і про скінченність чи нескінченність множини таких чисел[1].

Джерела[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9

Див. також[ред. | ред. код]