Числа Ферма
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
У математиці числом Ферма називається число виду:
де n є невід'ємним цілим числом. Першими дев'ятьма числами Ферма є:
F0 | = | 21 | + | 1 | = | 3 | |
F1 | = | 22 | + | 1 | = | 5 | |
F2 | = | 24 | + | 1 | = | 17 | |
F3 | = | 28 | + | 1 | = | 257 | |
F4 | = | 216 | + | 1 | = | 65537 | |
F5 | = | 232 | + | 1 | = | 4294967297 | |
= | 641 × 6700417 | ||||||
F6 | = | 264 | + | 1 | = | 18446744073709551617 | |
= | 274177 × 67280421310721 | ||||||
F7 | = | 2128 | + | 1 | = | 340282366920938463463374607431768211457 | |
= | 59649589127497217 × 5704689200685129054721 | ||||||
F8 | = | 2256 | + | 1 | = | 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 | |
= | 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321. |
Властивості[ред. | ред. код]
- Числа Ферма задовольняють такі рекурентні співвідношення:
-
- Перша і третя рівність перевіряються за допомогою елементарних операцій.
- Четверту рівність можна довести методом математичної індукції. Справді твердження очевидно правильне для n=1 : F1 = F0 +2;
- Якщо припустити істинність для декого цілого n тоді:
- що завершує доведення 4-ї рівності.
- Друга рівність може бути зведена до четвертої. Справді:
- де двічі використовувала четверта рівність.
- Друга рівність може бути зведена до четвертої. Справді:
- Теорема Гольдбаха: будь-які два різні числа Ферма є взаємно-прості.
- Дане твердження легко випливає з останньої рекурсії. Справді, жодне з чисел Ферма не є парним, а якщо Fn і Fi, де n>i, взаємно-прості, тоді з попереднього маємо, що Отже, їх спільний дільник має ділити 2, що неможливо для непарних чисел.
- Жодне число Ферма не є сумою двох простих чисел, за винятком F1 = 2 + 3.
- Правильний n-кутник можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки тоді і лише тоді, коли , де — різні прості числа Ферма. (Теорема Гаусса — Ванцеля).
- Серед чисел виду простими можуть бути тільки числа Ферма. Дійсно, якщо у є непарний дільник , то згідно з теоремою Безу:
і тому не є простим.
- Простота чисел Ферма ефективно визначається за допомогою тесту Папена.
- Теорема Лукаса: всі прості дільники числа Ферма Fn, де n>1, мають вигляд k2n+2+1.
Прості числа Ферма[ред. | ред. код]
Французький математик П'єр Ферма на честь якого названі дані числа висунув гіпотезу, що всі вони прості. Проте Ейлер визначив, що F5 = 4294967297 = 641 × 6700417. Зараз відомо 5 простих чисел Ферма: . Відомо, що, не є простими для.. Залишаються відкритими питання про існування інших простих чисел Ферма і про скінченність чи нескінченність множини таких чисел.
Література[ред. | ред. код]
- 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9
Посилання[ред. | ред. код]
- Леонид Дурман «Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: начало, продолжение, окончание». Компьютерра, № 393—395, 2001.