Числа алеф

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Алеф-нуль, найменше трансфінітне натуральне число

В теорії множин (дисципліна математики), числа Алефмножина чисел, що використовуються для представлення потужності (розміру) нескінченних множин. Названі за символом, що використовується для їх позначення – літери івриту алеф (\aleph).

Потужність множини натуральних чисел\aleph_0 (читається «алеф-нуль»), наступне, більше, кардинальне число - \aleph_1, потім - \aleph_2 і так далі. Продовжуючи таким чином, можна визначити кардинальне число \aleph_\alpha для кожного порядкового числа α.

Концепція числа сходить до Георга Кантора, який визначив поняття потужності і виявив, що нескінченні множини можуть мати різні потужності.

Числа алеф відрізняються від нескінченності (∞), що часто зустрічається у алгебрі та математичному аналізі. Алеф визначає розмірність нескінченних множин; нескінченність, з іншої сторони, зазвичай, визначається як крайня границя числової прямої (використовується до функцій чи послідовностей, що «розбігаються до нескінченності» або «нескінченно ростуть»), або як крайня точка розширеної числової прямої.

Алеф-нуль[ред.ред. код]

\aleph_0 є потужністю усіх натуральних чисел, та є першим нескінченим кардиналом. Множина має потужність \aleph_0 тільки якщо це злічена нескінченна множина, яку можна поставити у пряму бієкцію, тобто «один-до-одного», з множиною натуральних чисел. До таких множин відносяться множина простих чисел, множина усіх раціональних чисел, множина алгебраїчних чисел, множина бінарних строк усіх скінченних довжин і множина усіх скінченних підмножин будь-якої зліченної нескінченної множини.

Потужність зліченної множини \aleph_0 є найменшим трансфінітним кардинальним числом. Це означає, що будь-яка нескінченна множина A має принаймні одну зліченну частину (тобто зліченну підмножину).

Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m·\aleph_0 = \aleph_0 та \aleph_0^m=\aleph_1.

Алеф-один[ред.ред. код]

\aleph_1 є потужністю множини всіх злічених порядкових чисел, яка називається ω1, або іноді Ω. Ця ω1 сама по собі є порядковим номером, більшим, за всі зліченні множини, тобто ця множина є незліченною. Таким чином \aleph_1 відрізняється від \aleph_0. З визначення випливає, що не існує кардинального числа між \aleph_0 та \aleph_1.

Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m·\aleph_1 = \aleph_1 · \aleph_1 = \aleph_1^m = \aleph_1^\aleph_0 = \aleph_1, де m≥1 – ціле.

Див. також[ред.ред. код]