Числення одномісних предикатів
У логіці, одномісне числення предикатів — це фрагмент логіки першого порядку, в якому всі символи відношень у сигнатурі є одномісними (тобто вони беруть лише один аргумент), і немає функціональних символів. Таким чином, усі атомні формули мають вигляд , де є символом відношення і є змінною .
Одномісне числення предиката може бути протиставлене з поліадичним численням предиката, яке дозволяє використовувати символи відношення, які беруть два або більше аргументів
Відсутність символів поліадичного відношення серйозно обмежує те, що може бути виражено в одномісному числення предикатів. Воно настільки слабке, що, на відміну від повного числення предикатів, його можна розв’язувати — існує процедура прийняття рішення, яка визначає, чи є дана формула одномісного числення предикатів логічно правильною (вірна для всіх непорожніх областей дискурсу ). [1] [2] Однак додавання одного символу бінарного відношення до монадної логіки призводить до нерозбірливої логіки.
Необхідність вийти за межі одномісної логіки не була оцінена до роботи з логіки відносин Августа де Моргана і Чарльза Сандерса Пірса в дев'ятнадцятому столітті, а також Фреге в його Begriffsschrifft 1879 року. До роботи цих трьох людей логіка терміну (силогістична логіка) широко вважалась адекватною для формального дедуктивного міркування.
Висновки в логіці терміну можуть цілком бути представлені в одномісному численні предиката. Наприклад, аргумент
- Усі собаки – ссавці.
- Жоден ссавець не є птахом.
- Таким чином, жодна собака не є птахом.
може бути позначено мовою одномісного числення предикатів як
де , і позначають предикати буття відповідно собаки, ссавця та птаха.
З іншого боку, одномісне числення предиката не є значно виразніше, ніж логіка терміну. Кожна формула в одномісному численні предиката еквівалентна до формули, в якій квантори з’являються лише в закритих підформулах у формі
або
Ці формули дещо узагальнюють основні судження, що розглядаються в логіці терміну. Наприклад, ця форма дозволяє висловлюватися на кшталт « Кожен ссавець є травоїдним або м’ясоїдним (або обидва) ». . Проте міркування про такі твердження все ще можна розглядати в рамках логіки терміну, хоча й не лише за допомогою 19 класичних арістотелівських силогізмів .
Приймаючи пропозиційну логіку як дану, кожна формула в одномісному численні предикатів виражає щось, що також можна сформулювати в логіці термінів. З іншого боку, сучасний погляд на проблему множинної загальності в традиційній логіці робить висновок, що квантори не можуть бути корисними вкладками, якщо немає поліадичних предикатів, які б пов’язували зв’язані змінні.
Формальну систему, описану вище, іноді називають чистим одномісним численням предикатів, де «чистий» означає відсутність функціональних літер. Дозвіл одномісних функціональних символів змінює логіку лише поверхнево , тоді як прийняття навіть однієї букви двійкової функції призводить до нерозбірливої логіки.
Одномісна логіка другого порядку допускає у формулах предикати вищої арності, але обмежує кількісне визначення другого порядку унарними предикатами, тобто єдиними дозволеними змінними другого порядку є змінні підмножини .
- ↑ Heinrich Behmann, Beiträge zur Algebra der Logik, insbesondere zum Entscheidungsproblem, in Mathematische Annalen (1922)
- ↑ Löwenheim, L. (1915) "Über Möglichkeiten im Relativkalkül," Mathematische Annalen 76: 447-470. Translated as "On possibilities in the calculus of relatives" in Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press: 228-51.