Числова функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Числова функціяматематиці) — функція, яка діє з одного числового простору (множини) в інший числовий простір (множину)[1]. Числові множини — це множини натуральних (), цілих (), раціональних (), дійсних () і комплексних чисел () разом з визначеними для відповідних множин алгебричними операціями. Для всіх перерахованих числових множин, крім комплексних чисел, визначено також відношення лінійного порядку, що дозволяє порівнювати числа за величиною. Числові простори — це числові множини разом з функцією відстані, заданою на відповідній множині.

У найзагальнішому випадку, числова функція — це функція, що набуває значення в області дійсних чисел і яка задана на довільному (найчастіше) метричному просторі. Така, наприклад, індикаторна або характеристична функція множини. Інший приклад числової функції — це функція відстані (або, що те ж саме, метрика).

Числові функції, задані на множині дійсних або комплексних чисел називають функціями відповідно дійсної або комплексної змінної і є предметом розгляду в аналізі:

Важливий предмет розгляду в аналізі — подання числових функцій у вигляді системи наближень (числових і функціональних рядів).

Числові функції мають як загальні властивості, якими можуть володіти відображення довільних метричних просторів (наприклад, неперервність), так і низку властивостей, безпосередньо пов'язаних з природою числових просторів. Такими є властивості

  • диференційовності, інтегрованості, сумовності, вимірності (для довільних числових функцій);

а, також, властивості

  • парності (непарності), монотонності (для дійснозначних функцій дійсної змінної);
  • аналітичності, багатолистості (для комплекснозначних функцій комплексної змінної).

Числові функції широко використовуються прирозв'язуванні прикладних задач.

Властивості[ред. | ред. код]

Властивості, пов'язані з відношенням порядку[ред. | ред. код]

Нехай дано функцію Тоді

  • функція називається зростаючою на , якщо
  • функція називається строго зростаючою на , якщо
  • функція називається спадною на , якщо
  • функція називається строго спадною на , якщо

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.

Періодичність[ред. | ред. код]

Функція називається періодичною з періодом , якщо

.

Якщо ця рівність не виконується для жодного , то функцію називають аперіодичною.

Парність[ред. | ред. код]

  • функція називається непарною, якщо виконується рівність
  • Функція називається парною, якщо виконується рівність

Екстремуми функції[ред. | ред. код]

Нехай дано функцію і  — внутрішня точка області визначення Тоді

  • називається точкою абсолютного (глобального) максимуму, якщо
  • називається точкою абсолютного мінімуму, якщо

Графік функції[ред. | ред. код]

Фрагмент графіка функції
  • Нехай дано відображення . Тоді його графіком називається множина
        , де позначає декартів добуток множин і .
    • Графіком неперервної функції є крива на двовимірній площині.
    • Графіком неперервної функції є поверхня в тривимірному просторі.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Функція sgn (x)
    • Повертає знак аргументу.
    • Область визначення: .
    • Область значень: .
    • Область визначення: .
    • Область значень: .
  • Факторіал
    • Повертає добуток всіх натуральних чисел, не більших від даного. Крім того, .
    • Область визначення: (множина натуральних чисел з нулем).
    • Область значень:
  • Антьє (підлога)
    • Повертає цілу частину числа.
    • Область визначення: .
    • Область значень: .

Способи задання функції[ред. | ред. код]

Словесний За допомогою природної мови Ігрек дорівнює цілій частині від ікс.
Аналітичний За допомогою формули і стандартних позначень
Графічний За допомогою графіка
Фрагмент графіка функції .
Табличний За допомогою таблиці значень
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Аналітичний спосіб[ред. | ред. код]

Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між аргументом і функцією, задають за допомогою формул. Такий спосіб задання функції називають аналітичним. Цей спосіб дає можливість за кожним числовим значенням аргументу знайти відповідне йому числове значення функції точно або з деякою точністю. Якщо залежність між і задана формулою, розв'язаною відносно , тобто у вигляді , то кажуть, що функцію від задано в явному вигляді. Якщо ж значення і пов'язані деяким рівнянням вигляду , тобто формула не розв'язана відносно , то кажуть, що функцію задано неявно. Функцію можна визначити різними формулами на різних ділянках області визначення. Аналітичний спосіб є найпоширенішим способом задання функцій. Компактність, лаконічність, можливість обчислення значення функції для довільного значення аргументу з області визначення, можливість застосування до даної функції апарату математичного аналізу — основні переваги аналітичного способу задання функції. До недоліків можна віднести відсутність наочності, яку компенсує можливість побудови графіка, і необхідність виконання іноді дуже громіздких обчислень.

Приклади:

  •  ;
  •  ;
  •  ;

Табличний спосіб[ред. | ред. код]

Функцію можна задати, перерахувавши всі її можливі аргументи і значення для них. Після цього, якщо це необхідно, функцію можна довизначити для аргументів, яких немає в таблиці, інтерполяцією або екстраполяцією. Прикладами можуть служити програма передач, розклад поїздів або таблиця значень булевої функції:

Графічний спосіб[ред. | ред. код]

Осцилограма задає значення деякої функції графічно.

Функцію можна задати графічно, зобразивши множину точок її графіка на площині. Це може бути приблизний начерк, як має виглядати функція, або покази, зняті з приладу, наприклад, з осцилографа. Цей спосіб задання може бути недостатньо точним, однак у деяких випадках інші способи задання взагалі неможливо застосувати. Крім того, такий спосіб задання один з найнаочніших, зручних для сприйняття і якісного евристичного аналізу функції.

Рекурсивний спосіб[ред. | ред. код]

Функцію можна задати рекурсивно, тобто через саму себе. В цьому випадку одні значення функції визначаються через інші її значення.

Приклади:

Словесний спосіб[ред. | ред. код]

Функцію можна описати словами природної мови будь-яким однозначним способом, наприклад, описавши її вхідні й вихідні значення, або алгоритм, за яким функція задає відповідності між цими значеннями. Поряд із графічним способом, іноді це єдиний спосіб описати функцію, хоча природні мови і не настільки детерміновані, як формальні.

Приклади:

  • функція, яка повертає цифру в запису числа пі за її номером;
  • функція, яка повертає число атомів у всесвіті у певний момент часу;
  • функція, яка отримує як аргумент людину, і повертає число людей, які народяться після її народження.

Класи числових функцій[ред. | ред. код]

Історичний нарис[ред. | ред. код]

Поява поняття[ред. | ред. код]

Математичне моделювання явищ і законів природи спричиняє виникнення поняття функції, яке спочатку обмежується алгебричними функціями (многочленами) і тригонометрією. Як і інші поняття математики, загальне поняття функції склалося не відразу, а пройшло довгий шлях розвитку. Зрозуміло, і в давнину при обчисленнях люди несвідомо використовували різні функції (наприклад, квадратний корінь) і навіть рівняння, однак як окремий математичний об'єкт, що допускає загальне аналітичне дослідження, функція могла з'явитися тільки після створення Вієтом символьної алгебри (XVI століття)[2]. Навіть у XVII столітті Непер, вводячи в ужиток логарифмічну функцію, використовував обхідний шлях — визначив її кінематично.

Спочатку об'єктом дослідження стали різноманітні алгебричні формули. Декарт розглядав неалгебричні залежності тільки у як рідкісний виняток. У нього й у Ферма формула розуміється не просто як обчислювальний алгоритм, але розглядається як (геометрично подаване) перетворення однієї неперервно змінюваної величини на іншу[3]. У Барроу («Лекції з геометрії», 1670) в геометричній формі встановлюється взаємна оберненість дій диференціювання й інтегрування (зрозуміло, без вживання самих цих термінів). Це свідчить вже про абсолютно чітке володіння поняттям функції як цілісного об'єкта. У геометричному і механічному вигляді поняття функції ми знаходимо й у Ньютона.

Математичний термін «функція» вперше з'явився 1673 року в Ляйбніца, і до того ж не зовсім у сучасному його розумінні: Ляйбніц спочатку називав функцією різні відрізки, пов'язані з будь-якою кривою (наприклад, абсциси її точок). Пізніше, однак, у листуванні з Йоганном Бернуллі (1694) зміст терміна розширився і врешті-решт став синонімом «аналітично заданої залежності».

У першому друкованому курсі «Аналізу нескінченно малих для пізнання кривих ліній» Лопіталя (1696) термін «функція» не вживається.

Перші спроби визначення[ред. | ред. код]

На початку XVIII століття отримано розклади всіх стандартних функцій і багатьох інших. Завдяки, переважно, Ейлеру (1748) уточнено їх визначення. Ейлер уперше ясно визначив показникову функцію, а також логарифмічну як обернену до неї, і дав їх розклади в ряд. До Ейлера багато математиків вважали, наприклад, тангенс тупого кута додатним; Ейлер дав сучасні визначення всіх тригонометричних функцій (сам термін «тригонометрична функція» запропонував Клюгель 1770 року).

У застосуваннях аналізу з'являється багато нових трансцендентних функцій. Коли Гольдбах і Бернуллі спробували знайти неперервний аналог факторіала, молодий Ейлер повідомив у листі Гольдбаху про властивості гамма-функції (1729, назва належить Лежандру). Через рік Ейлер відкрив бета-функцію, і далі неодноразово повертався до цієї теми. Гамма-функція і пов'язані з нею (бета, дзета, циліндричні (Бесселя)) знаходять численні застосування в аналізі, а також у теорії чисел, а дзета-функція Рімана виявилася незамінним інструментом для вивчення розподілу простих чисел у натуральному ряді.

1757 року Вінченцо де Ріккаті, досліджуючи сектори гіперболи, вводить гіперболічні функції ch, sh (саме з такими позначеннями) і перераховує їх основні властивості. Чимало нових функцій виникло в зв'язку з неінтегровністю різних виразів. Ейлер визначив (1768) інтегральний логарифм (назву запропонував І. Зольднер[en], 1809), Л. Маскероні — інтегральні синус і косинус (1790). Незабаром з'являється і новий розділ математики: спеціальні функції.

З цим строкатим зібранням слід було щось робити, і математики вчинили радикально: всі функції, незалежно від їх походження, оголосили рівноправними. Єдина вимога, що ставиться до функції — визначеність, причому мається на увазі не однозначність самої функції (вона може бути і багатозначною), а недвозначність способу обчислення її значень.

Перше загальне визначення функції зустрічається в Йоганна Бернуллі (1718): «Функція — це величина, складена із змінної і сталої». В основі цього не цілком виразного визначення лежить ідея задання функції аналітичною формулою. Та ж ідея виступає й у визначенні Ейлера, яке він дав у «Вступі до аналізу нескінченних» (1748): «Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений певним чином з цієї змінної кількості і чисел або сталих кількостей».

Все ж у XVIII столітті було відсутнє досить ясне розуміння відмінності між функцією і її аналітичним виразом. Це відбилося в критиці Ейлером розв'язку задачі про коливання струни, запропонованого Бернуллі (1753). В основі розв'язку Бернуллі лежало твердження про можливість розкласти будь-яку функцію в тригонометричний ряд. Заперечуючи це, Ейлер вказав на те, що подібна розкладність надавала б будь-якій функції аналітичний вираз, тоді як функція може й не мати його (її можна задати графіком, «накресленим вільним рухом руки»).

Ця критика переконлива і з сучасної точки зору, бо не всі функції допускають аналітичне подання (правда, в Бернуллі йдеться про неперервну функцію, яка, як виявив 1885 року Веєрштрасс, завжди аналітично зображувана, але вона може й не розкладатися в тригонометричний ряд). Однак інші аргументи Ейлера вже помилкові[4]. Наприклад, він вважав, що розкладання функції в тригонометричний ряд надає для неї єдиний аналітичний вираз, тоді як вона може бути «змішаною» функцією, подаваною на різних відрізках різними формулами. Насправді одне іншому не суперечить, але в ту епоху здавалося неможливим, щоб два аналітичних вирази, збігаючись на частині відрізка, не збігалися на всій його довжині. Пізніше, під час дослідження функцій багатьох змінних він зрозумів обмеженість колишнього визначення і визнав розривні функції, а потім, після дослідження комплексного логарифма — навіть багатозначні функції.

Під впливом теорії нескінченних рядів, які давали алгебричне подання майже будь-якої гладкої залежності, наявність явної формули поступово припинила бути обов'язковою для функції. Логарифм або показникова функція, наприклад, обчислюються як границі нескінченних рядів; такий підхід поширився й на інші нестандартні функції. З рядами стали поводитися як зі скінченними виразами, спочатку ніяк НЕ обґрунтовуючи коректності операцій і навіть не гарантуючи збіжності ряду.

Починаючи з «Диференціального числення» (1755), Ейлер фактично приймає сучасне визначення числової функції як довільної відповідності чисел[4]:

Коли деякі кількості залежать від інших так, що при зміні останніх і самі вони зазнають зміни, то перші називають функціями других.

Загальне визначення[ред. | ред. код]

Від початку XIX століття все частіше й частіше визначають поняття функції без згадки про її аналітичне подання. У «Трактаті з диференціального й інтегрального числення» (17971802) Лакруа сказано: «Будь-яка величина, значення якої залежить від однієї або багатьох інших величин, називається функцією цих останніх» незалежно від того, відомий чи невідомий спосіб обчислення її значень[5].

В «Аналітичній теорії тепла» Фур'є (1822) є фраза: «Функція позначає функцію абсолютно довільну, тобто послідовність даних значень, підлеглих чи ні загальному закону і відповідних усім значенням, що містяться між і будь-якою величиною».

Близьке до сучасного і визначення Лобачевського:

… Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від називати число, яке дається для кожного і разом з поступово змінюється. Значення функції можна дати або аналітичним виразом, або умовою, яка надає засіб випробовувати всі числа і вибирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати й залишатися невідомою… Широкий погляд теорії допускає існування залежності лише в тому сенсі, щоб числа одні з іншими в зв'язку розуміти ніби даними разом.

Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадок про аналітичне задання, зазвичай приписуване Діріхле, неодноразово пропонувалося і до нього. Ось визначення Діріхле (1837):

у є функцією змінної х (на відрізку ), якщо кожному значенню х (на цьому відрізку) відповідає цілком певне значення у, причому байдуже, яким чином встановлено цю відповідність — аналітичною формулою, графіком, таблицею, чи навіть просто словами.

До кінця XIX століття поняття функції переростає рамки числових систем. Першими це зробили векторні функції, незабаром Фреге ввів логічні функції (1879), а після появи теорії множин Дедекінд (1887) і Пеано (1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.

Приклади[ред. | ред. код]

Неявні функції[ред. | ред. код]

Функції можна задавати за допомогою інших функцій і рівнянь.

Припустимо, задано функцію двох змінних, яка задовольняє особливим умовам (умовам теореми про неявні функції), тоді рівняння вигляду.

.

визначає неявну функцію вигляду .

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Область визначення й область значень числової функції — підмножини числового простору.
  2. Юшкевич А. П., 1966, с. 134-135.
  3. Юшкевич А. П., 1966, с. 137-138.
  4. а б Юшкевич А. П., 1966, с. 144-148.
  5. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Просвещение, 1977. — С. 84.

Література[ред. | ред. код]