Число Пелля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Див. також: Пелля

Число Пелля — ціле число, що входить як знаменник у нескінченну послідовність відповідних дробів для квадратного кореня з двох. Ця послідовність наближень починається наступним чином: , тобто перші числа Пелля — 1, 2, 5, 12 і 29. Чисельники тієї самої послідовності наближень є половинами супутних чисел Пелля або числами Пелля — Люка — нескінченої послідовності, що починається з 2, 6, 14, 34 і 82.

Обидві послідовності, числа Пелля і супутні числа Пелля можуть бути обчислені за допомогою рекурентної формули, схожої на формули для чисел Фібоначчі, і обидві послідовності чисел зростають експоненціально, пропорційно ступеня срібного перетину . Крім використання в ланцюговому дробу наближень до квадратного кореня з двох, числа Пелля можуть бути використані для пошуку квадратних трикутних чисел і для вирішення деяких комбінаторних задач перерахування.[1]

Послідовність чисел Пелля відома з давніх часів. Як і рівняння Пелля, числа Пелля були помилково приписані Леонардом Ейлером Джону Пеллю. Числа Пелля — Люка названі на честь Едуарда Люка, який вивчав ці послідовності. І числа Пелля, і супутні числа Пелля є окремими випадками послідовностей Люка.

Числа Пелля[ред. | ред. код]

Числа Пелля задаються лінійним рекурентним співвідношенням:

і є окремим випадком послідовності Люка.

Перші кілька чисел Пелля

7, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (послідовність A000129 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Числа Пелля можна виразити формулою

Для великих значень n член домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні ступені срібного перетину , також як швидкість росту чисел Фібоначчі дорівнює ступені золотого перетину.

Можливо і третє визначення — у вигляді матричної формули

Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне тотожності Кассіні[ru] для чисел Фібоначчі,

як негайний наслідок матричної формули (підставляючи визначники матриць ліворуч і праворуч).[2]

Наближення до квадратному кореню з двох[ред. | ред. код]

Раціональне наближення до правильних восьмикутників, з координатами з чисел Пелля

Числа Пелля виникли історично з раціональних наближень до квадратного кореня з двох. Якщо два великих цілих x і y дають рішення рівняння Пелля

то їх відношення дає близьке наближення до . Послідовність наближень цього виду

де знаменник кожного дробу — число Пелля і чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд .

Наближення

цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери.[3] Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення.[4] Платон (Plato) посилається на чисельники як раціональні діаметри.[5] У другому столітті нашої ери Теон Смирнський[ru] використовував терміни сторона і діаметр для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.[6]

Ці наближення можуть бути отримані з ланцюгового дробу :

Кінцева частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля. Наприклад,

Як писав Кнут (1994), факт апроксимації числами Пелля дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного [[восьмикутник] у з координатами вершин и . Всі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують майже однакові кути. Також точки , и формують восьмикутник, у якого вершини майже однаково віддалені від центру і формують однакові кути.

Прості і квадрати[ред. | ред. код]

Простим числом Пелля називається число Пелля, що є також простим. Кілька перших простих чисел Пелля

2, 5, 29, 5741, … (послідовність A086383 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля може бути простим тільки якщо n саме просто.

Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими ступенями, — це 0, 1, і 169 = 132. [7]

Незважаючи на те, що мається настільки мало квадратів і інших ступенів серед чисел Пелля, вони мають близький зв'язок з квадратними трикутними числами.[8] Ці числа виникають із наступного тотожності:

Ліва частина цієї тотожності дає квадратне число, в той час як права частина дає трикутне число, так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.

Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели інше тотожність, що зв'язує числа Пелля з квадратами, показавши, що сума чисел Пелля до завжди квадрат:

Наприклад, сума чисел Пелля до , , є квадратом числа .

Числа , які утворюють квадратні корені таких сум,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (послідовність A002315 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS), відомі як прості числа Ньюмена-Шенкса-Вільямса[ru].

Піфагорові трійки[ред. | ред. код]

Прямокутні трикутники з майже рівними катетами і цілочисельними координатами, породжені числами Пелля.

Якщо прямокутний трикутник має сторони a, b, c (по теоремі Піфагора a2+b2=c2), то (a,b,c) відомі як піфагорові трійки. Мартін (Martin) (1875) пише, що числа Пелля можуть бути використані для формування піфагорових трійок, в яких a і b відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреного прямокутного трикутника. Кожна така трійка має вигляд

Послідовність піфагорових трійок, отриманого таким способом: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Числа Пелля — Люка[ред. | ред. код]

Супутні числа Пелля або числа Пелля — Люка визначаються лінійним рекурентним співвідношенням:

Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля-Люка і попереднього йому, або, що еквівалентно, додаванням наступного числа Пелля і попереднього числа. Так, супутим для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.

Супутні числа Пелля утворюють послідовність:

2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, … (послідовність A002203 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Супутні числа Пелля можна виразити формулою:

Всі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні раціональними числами до .

Обчислення та зв'язки[ред. | ред. код]

Наступна таблиця дає декілька перших ступенів срібного перетину і зв'язаного з ним .

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля і числа Пелля , є невід'ємними рішеннями рівняння .

Квадратне трикутне число — це число , яке є як трикутним числом так і квадратним. Майже рівнобедрені піфагорові трійки є цілими рішеннями , де .

Наступна таблиця показує розкладання непарних на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число коли n парне і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарній.

t t+1 s a b c
0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
2 3 2 1 2 1
3 7 5 3 4 5
4 17 12 8 9 6
5 41 29 20 21 29
6 99 70 49 50 35
7 239 169 119 120 169
8 577 408 288 289 204
9 1393 985 696 697 985
10 3363 2378 1681 1682 1189
11 8119 5741 4059 4060 5741
12 19601 13860 9800 9801 6930

Визначення[ред. | ред. код]

Половини супутніх чисел Пелля і числа Пелля можуть бути отримані декількома еквівалентними шляхами:


Піднесення до степеню:

Звідки випливає:

і

Парні рекурентні відношення:

або, в матричному вигляді:

Таким чином


Наближення[ред. | ред. код]

Різниця і дорівнює , що швидко наближається до нуля.

Таким чином дуже близьке до .

З цього спостереження випливає, що відношення цілих швидко наближається до у той час як и швидко наближається до .

H2 − 2P2 = ±1[ред. | ред. код]

Оскільки є ірраціональним, ми не можемо отримати , то есть . Найкраще, що ми можемо отримати, це або або .

Невід'ємними рішеннями є пари з парним n, і рішеннями є пари з n непарним.

Щоб зрозуміти це, зауважимо

так що, починаючи з знак чергується (). Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності .


Квадратні трикутні числа[ред. | ред. код]

Необхідну рівність еквівалентно , що перетворюється в при підстановці і . Звідси n-м рішенням буде і

Зауважимо, що і взаємно прості, так що можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне — квадрат й інше — подвоєний квадрат .

Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо

і

t t+1 s a b c
0 1 0
1 1 1 1 2 1 1 0 1
2 3 2 8 9 6 3 4 5
3 7 5 49 50 35 21 20 29
4 17 12 288 289 204 119 120 169
5 41 29 1681 1682 1189 697 696 985
6 99 70 9800 9801 6930 4059 4060 5741

Триплети Піфагора[ред. | ред. код]

Рівність вірно тільки при , що перетворюється в при підстановці . Тоді n-м рішенням є і


Таблиця вище показує, що з точністю до порядку і дорівнює і , в той час як

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Наприклад, Селлерс (Sellers) в 2002 році показав, що кількість досконалих паросполучень в декартовому добутку шляхів і графу K4-e може бути обчислена як добуток числа Пелля на відповідне число Фібоначчі
  2. Про матричну формулу і її наслідках дивіться Ерколано (Ercolano) (1979), Кілік (Kilic) і Таскі (Tasci) (2005). Інші тотожності для чисел Пелля наведені Хорадамом (Horadam) (1971) і Бікнелл (Bicknell) (1975).
  3. Це записано в Shulba Sutras. Дивіться, наприклад, Дутка (Dutka) (1986), який цитував Тібаута (Thibaut) (1875)
  4. Дивись Кнорра (Knorr) (1976) з посиланням на п'яте століття, що відповідає твердженням Прокла, що числа були відкриті піфагорійцями. Для більш повного дослідження про більш пізніх знаннях греків про ці числа дивись Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Ріденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), і Філепа (Filep) (1999).
  5. Наприклад, в Державі Платона є посилання на «раціональний діаметр пчті», під яким Платон мав на увазі 7, чисельник наближення 7/5.
  6. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books. Процитовано 28 січня 2013. 
  7. Pethő (1992); Cohn (1996). Хоча числа Фібоначчі визначаються рекурентними формулами, дуже схожими на формули для чисел Пелля, Кон (Cohn) пише, що аналогічні результати для чисел Фібоначчі куди складніше довести. (Однак, вони були доведені у 2006 році Бугеадом (Bugeaud).)
  8. Sesskin (1962).

Посилання[ред. | ред. код]