Чотиривимірні гіперкомплексні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Чотиривимірні гіперкомплексні числагіперкомплексні числа з трьома уявними одиницями.

Тобто числа виду

де

дійсні числа;
 — уявні одиниці,
 — уявна частина.

Множення[ред. | ред. код]

Всі 3*3 взаємних добутків уявних одиниць є деякими чотиривимірними гіперкомплексними числами, наприклад:

Погрупувавши доданки

Після заміни змінних, отримаємо:

Тому довільне чотиривимірне гіперкомплексне число можна записати рекурсивно:

.

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд

  • — додавання,
  • — множення (може бути не комутативним і не асоціативним).

Степенева асоціативність[ред. | ред. код]

Щоб була хоча б одна з найслабших форм асоціативності — степенева асоціативність:

достатньо комутативності множення або степеневої асоціативності для .

Другого легко досягти при:

Почергово зануляючи всі числа окрім одного отримаємо:

антикомутативність добутків

Альтернативність[ред. | ред. код]

Використавши ще одну із слабких форм асоціативності — альтернативність, отримаємо:

,
,
.

Виконавши множення в різному порядку отримаємо асоціативність:

Властивості:

Назва Примітки
-1 -1 -1 кватерніони Green tickТак
-1 -1 +1 бікомплексні числа Green tickТак комутативні кватерніони
-1 +1 -1 тессаріни Green tickТак ізоморфні бікомплексним числам
-1 +1 +1 спліт-кватерніони Green tickТак
-1 0 0 дуальні комплексні числа Green tickТак

Не альтернативні[ред. | ред. код]

При відсутності альтернативності, не можливо вивести одні добутки із інших, але легко побачити степенево-асоціативну систему:

Ділення[ред. | ред. код]

Визначимо операції:

  • норма числа,
  • — ділення чисел.

При можна визначити:

  • — спряжене число,
  • .

Діагональний базис[ред. | ред. код]

Якщо присутня інволюційна уявна одиниця то як і в подвійних числах існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

які можна використати як альтернативний базис:

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли чи рівні нулю.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]