Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна:
слід.
Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).
Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо
елементи матриці
, її слід дорівнює:

В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду:
(трейс, від англ. Trace — слід), і
(шпур, від нім. Spur — слід).

,

,
- де T означає операцію транспонування.



Для матриці A розміром m на n з комплексними (чи дійсними) елементами, де A* позначає ермітово спряжену матрицю, маємо нерівність

яка перетворюється в рівність тоді і тільки тоді коли
. Присвоєння

дає внутрішній добуток на просторі всіх комплексних (чи дійсних) матриць розміру m на n.
Норму яку отримують з вищенаведеного внутрішнього добутку називають нормою Фробеніуса, яка задовільняє властивість субмультиплікативності для норм матриць. Справді, це просто Евклідова норма якщо вважати матрицю вектором довжини mn.
Якщо A і B дійсні додатнонапівозначені матриці однакового розміру, то виконується рівність
![{\displaystyle 0\leq [\operatorname {tr} (AB)]^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq [\operatorname {tr} (A)]^{2}[\operatorname {tr} (B)]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8946a90e83a3e98795c72e928e04afb8812ce1)
Її можна довести використавши нерівність Коші — Буняковського.