Щільний порядок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Щільний порядок — це відношення між елементами множин у частковому або лінійному порядку (позначимо його <) на множині X, коли для всіх x і y з X, для яких виконується x < y, існує елемент z в X, такий що x < z < y. Іншими словами, порядок називають щільним, коли немає сусідніх елементів. Оскільки між будь-якими двома елементами щільного порядку є ще хоча б один, будь-який відрізок щільного порядку нескінченний[1].

Приклад[ред. | ред. код]

Щільною впорядкованою множиною є дійсні числа і раціональні числа зі звичайним порядком. З іншого боку, звичайний порядок цілих чисел щільним не є.

Єдиність[ред. | ред. код]

Георг Кантор довів, що дві будь-які щільні лінійно впорядковані зліченні множини без нижньої і верхньої меж ізоморфні відносно впорядкування[2]. Зокрема, існує ізоморфізм зі збереженням порядку між раціональними числами та іншими щільними зліченними множинами, включно з двійково-раціональними числами й алгебричними числа. У методі підбору[en][3] використовується доведення цього результату.

Для визначення ізоморфізмів порядку між квадратичними алгебричними числами і раціональними числами, а також між раціональними числами і двійково-раціональними числами можна використати функцію Мінковського.

Узагальнення[ред. | ред. код]

Бінарне відношення R вважається щільним, якщо для всіх пов'язаних відношенням R x і y, є z, таке що x і z, а також z і y пов'язані відношенням R. Формально:

У термінах суперпозиції відношень[en] R із собою, умову щільності можна альтернативно виразити як [4].

Достатніми умовами до того, що бінарне відношення R на множині X матиме щільний порядок, є випадки коли:

Жодна з них не є необхідною. Непорожнє щільне відношення не може бути антитранзитивним.

Строго частковий порядок < є щільним порядком тоді і тільки тоді, коли < є щільним відношенням. Щільне відношення є ідемпотентним відношенням[en], коли воно також транзитивне.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Лекция 5: упорядоченные множества. Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук (русский). 2015. 
  2. Roitman, 1990, с. 123.
  3. Dasgupta, 2013, с. 161.
  4. Schmidt, 2011, с. 212.

Література[ред. | ред. код]

  • David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn. Dynamic logic. — MIT Press, 2000. — С. 6ff. — ISBN 0-262-08289-6.