Ядро Феєра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці ядро Феєра використовується для знаходження суми за Чезаро рядів Фур'є або перетворень Фур'є.

Графіки деяких ядер Феєра. На графіках використано іншу індексацію, ніж у статті і тому

Означення[ред. | ред. код]

Ядро Феєра задається як:

де

ядро Діріхле.

Ядра Феєра також можна записати через тригонометричні функції як:

Для точок значення функції Феєра є рівним , що є граничним значенням вказаних тригонометричних виразів у цих точках.

Назване на честь угорського математика Ліпота Феєра.

Доведення тригонометричної рівності[ред. | ред. код]

Ядро Діріхле рівне

Тому

Із використанням суми геометричної прогресії звідси:

Далі для уявної частини у попередніх формулах:

Із властивостей полярного запису комплексних чисел:

Підставляючи ці рівності у попередні формули:

Властивості[ред. | ред. код]

  • -періодична, парна функція і для всіх
Парність, -періодичність і додатність функції відразу випливає із тригонометричних виразів для функції. Із рівності для ядра Діріхле випливає, що і тому
Рівність досягається лише у точках для яких всі тобто у точках
Ядро Феєра є рівним Проінтегрувавши цей вираз одержуємо
Якщо то
Якщо то
Тому
  • Для будь-якого фіксованого при також
Із тригонометричного запису ядра Феєра через квадрати синусів для можна одержати обмеження:
Звідси
Очевидно цей вираз прямує до 0 при Інша границя доводиться аналогічно.

Співвідношення із рядом Фур'є[ред. | ред. код]

Нехай — інтегровна на і -періодична функція, — часткові суми ряда Фур'є цієї функції, а середнє арифметичне цих часткових сум, тобто . Тоді

Згідно теореми Феєра, якщо додатково є неперервною функцією, то рівномірно збігається до .

Ядро Феєра для інтеграла Фур'є[ред. | ред. код]

Ядро Феєра для інтеграла Фур'є визначається як:

Властивості ядра Феєра для інтеграла Фур'є[ред. | ред. код]

  • ;
  • Для будь-якого фіксованого при виконується

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

William Wu. Fourier Series and Fejer’s Theorem