Ядро та образ лінійного оператора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора

Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина :

вона утворює лінійний підпростір в просторі

Образом лінійного відображення називається наступна підмножина :

вона утворює лінійний підпростір в просторі

Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають:

Властивості[ред.ред. код]

  • Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:

Тобто образ L є ізоморфним до факторпростору в V утвореного ядром:

(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).

Простори скінченної розмірності і матриці[ред.ред. код]

Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n:

Визначення ядра матриці записується як , тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.

Rank-nullity теорема[ред.ред. код]

Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):

Число називається рангом і записується як чи

Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Основна теорема лінійної алгебри[ред.ред. код]

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва Визначення Простір в якому існує Розмірність
простір стовпців чи образ im(A) чи range(A) r
нульпростір чи ядро ker(A) чи null(A) n — r
простір рядків чи кообраз(англ.) im(AT) чи range(AT) r
лівий нульпростір чи коядро(англ.) ker(AT) чи null(AT) m — r
  • В , тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
  • В , тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]