Ромб

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з 🔸)
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ромб
Rhombus.svg
Два ромби
Вид чотирикутник, паралелограм, дельтоїд
Ребра і вершини 4
Символ Шлефлі { } + { }
Діаграма Коксетера CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
Група симетрії[en] діедральна (D2), [2], (*22), порядок 4
Площа (половина добутку діагоналей)
Дуальний багатокутник[en] прямокутник
Властивості опуклий, ізотоксальний

Ромб (грец. ρομβος) — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Ромб, сторони якого утворюють прямий кут, називають квадратом.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Етимологія[ред. | ред. код]

Слово «ромб» походить від грец. ῥόμβος (ромбос), що означає щось, що обертається[1], утворене своєю чергою від дієслова ῥέμβω (рембо), що означає «обертаюся довкола»[2]. Слово використовувалося Евклідом і Архімедом, які використовували термін «об'ємний суцільний ромб» для двох круглих конусів зі спільною основою[3].

Та плоска фігура, яку ми сьогодні називаємо ромбом, є поздовжнім перетином того суцільного ромба, що проходить крізь вершини кожного з двох конусів.

Ознаки ромба[ред. | ред. код]

Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна з таких умов:

  1. Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні): АВ = ВС = СD = AD
  2. Його діагоналі перетинаються під прямим кутом: AC┴BD
  3. Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:
    ∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC
  4. Якщо всі висоти рівні: BN = DL = BM = DK
  5. Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:
    Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
  6. Якщо в паралелограм можна вписати коло.

Властивості ромба[ред. | ред. код]

Кожен ромб має дві діагоналі, що з'єднують пари протилежних вершин, і має дві пари паралельних сторін. Використовуючи правила конгруентних трикутників, можна довести, що ромб є симетричним відносно кожної з його діагоналей. Звідси випливає, що ромб має такі властивості:

  • Це паралелограм, діагоналі якого розділяють внутрішній кут.
  • Протилежні кути ромба рівні.
  • Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, точка перетину є серединою кожної діагоналі.
  • Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, з яких вони проведені.
  • Сторони ромба попарно паралельні.
  • Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.
  • В будь-який ромб можна вписати коло.
  • Центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей.
  • Сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири: AC2 + BD2 = 4AB2

Однією з основних властивостей є те, що ромб - це паралелограм, внаслідок чого ромб має усі ті властивості, що й паралелограм. Наприклад,

  • протилежні сторони паралельні;
  • прилеглі кути є суміжними;
  • дві діагоналі поділяють одна одну навпіл;
  • будь-яка пряма, що проходить через центр, поділяє площу навпіл;
  • сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей (правило паралелограма).

Отож, якщо позначити сторону як a, а діагоналі як d1 і d2, то для кожного ромба

Не кожен паралелограм є ромбом, але кожен паралелограм, у якого діагоналі є перпендикулярними, є ромбом. В загальному випадку будь-який чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, одна з яких є лінією симетрії, - це дельтоїд.

Сторона ромба[ред. | ред. код]

Ромб

Формули визначення довжини сторони ромба[ред. | ред. код]

Ромб

1. Формула сторони ромба через площу і висоту:

2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:

3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:

4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:

5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (cos α) або косинус тупого кута (cos β):

6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:

7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:

8. Формула сторони ромба через периметр:

Діагоналі ромба[ред. | ред. код]

Ромб

Діагональ ромба — це відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.

Ромб має дві діагоналі — більшу d1, та меншу — d2

Формули визначення довжини діагоналі ромба[ред. | ред. код]

Ромб

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:

6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:

7. Формули діагоналей через площу і другу діагональ:

8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:

Периметр ромба[ред. | ред. код]

Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.

Формула периметра ромба через сторону ромба:

Площа ромба[ред. | ред. код]

Ромб. Кожен кут, який відмічений чорною точкою є прямим кутом. Висота h є перпендикуляром між двома протилежними сторонами, яка дорівнює діаметру вписаного кола. Діагоналі з довжиною відміченими червоними пунктирними відрізками.

Площа ромба — це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.

Формули визначення площі ромба[ред. | ред. код]

1. Формула площі ромба через сторону і висоту:

2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута:

3. Формула площі ромба через сторону і радіус:

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:

6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):

Коло, вписане у ромб[ред. | ред. код]

Коло, вписане у ромб

Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб[ред. | ред. код]

1. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:

2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:

3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:

4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:

5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:

6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:

7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:

Рівняння[ред. | ред. код]

Сторони ромба, центр якого суміщено з центром координат із діагоналями, що розташовані на осях, будуть складатися із точок (x, y), що задовільняють рівняння

Вершини знаходитимуться в точках і Це є особливим випадком супереліпса із експонентою 1.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. ῥόμβος, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  2. ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  3. The Origin of Rhombus. Архів оригіналу за 2 квітень 2015. Процитовано 23 лютий 2018. 

Посилання[ред. | ред. код]