*-алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

*-алгебра (алгебра з інволюцією, алгебра з операцією спряження) — асоціативна алгебра з інволюцією, що має властивості подібні до комплексного спряження.

*-кільце[ред.ред. код]

*-кільцекільце з унарною операцією * яка є

\ (x + y)^* = x^* + y^*
\ (x y)^* = y^* x^*
\ 1^* = 1
\ (x^*)^* = x.

Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.

*-алгебра[ред.ред. код]

*-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в R \subset A.

Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).

Тоді * є спряжено-лінійним, тобто

(\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad  \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A.

*-гомоморфізм \ f: A \to B є гомоморфізм алгебр що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:

f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A.

  • Елементи для яких \ x^*= x називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими.
  • Елементи для яких \ x^*=-x називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими.
  • Можна визначити сесквілінійну форму за допомогою операції * у виді \phi(x,y) = x^* \cdot y.

C*-алгебра[ред.ред. код]

C*-алгебраБанахова *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:

 \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|,
 \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|.

Обидві умови є еквівалентними.

Також вони еквівалентні В*–властивості

 \|x x^* \| = \|x\|^2.

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:

Дивись також[ред.ред. код]