0,(9)

У математиці, періодичний дріб 0.999..., який можна також записати як 0.9, $\scriptstyle \mathbf {0} .\mathbf {\dot {9}}$ або 0.(9), позначає дійсне число, яке, як можна показати, є одиницею. Інакше, символи 0.999... і 1 репрезентують одне й те ж число. Доведення цієї рівності були сформульовані з різними мірами математичної точності, залежно від цільової аудиторії, історичного контексту тощо.

Алгебраїчні доведення

Алгебраїчні доведення, які показують, що 0.(9) репрезентує число 1, використовують поняття дробів, ділення у стовпчик і цифрові маніпуляції, щоб побудувати перетворення, які приводять до рівності 0.999... і 1.

Дроби та ділення у стовпчик

${\begin{aligned}{\frac {1}{9}}&=0.111\dots \\9\times {\frac {1}{9}}&=9\times 0.111\dots \\1&=0.999\dots \end{aligned}}$

В іншій формі такого доведення множать ¹⁄₃ = 0.333... на 3.

Маніпуляції з цифрами

Коли число в десятковій нотації множиться на 10, цифри не змінюються, але десяткова кома переміщується на одну позицію праворуч. Таким чином $10\times 0.999...=9.999...$, що на 9 більше, ніж початкове число. Переконаємося в цьому, віднявши 0,999 ... від 9,999 ...; дробова частина різниці буде рівна нулю, оскільки $9-9=0$ для кожного розряду дробової частини. Далі застосуємо алгебру:

${\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots \\10x-x&=9.999\ldots -0.999\ldots \\9x&=9\\x&=1\end{aligned}}$

У попкультурі

Математичний фольклор також змальовує 0.(9), зокрема в такому жарті:

З: Скільки математиків потрібно, щоби вкрутити одну лампочку?
В: 0.(9).