1 − 2 + 3 − 4 + …

Перші 15 000 часткових сум ряду 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + …

1 − 2 + 3 − 4 + … — знакопереміжний ряд, членами якого є цілі числа.

Часткова сума з номером m цього ряду описується виразом:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Такий нескінченний ряд є розбіжним, тобто часткові суми ряду не прямують ні до якої скінкінченої границі. Однак, у середині 18-го століття Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як «парадоксальний»:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

Цей знакозмінний (а точніше — знакопереміжний) ряд тісно пов'язаний із рядом Гранді (1 − 1 + 1 − 1 + …). Ейлер трактував ці ряди як два окремих випадки ряду 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …, який він вивчав для довільного n, працюючи над Базельською проблемою, і отримав функціональні рівняння для функцій, відомих нині як бета-функція Діріхле і дзета-функція Рімана.

Розбіжність

Члени послідовності (1, −2, 3, −4, …) не прямують до нуля, тому згідно необхідній умові збіжності ряд розходиться.

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

$\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n-1}n\;\;={\frac {(-1)^{m-1}(2m+1)+1}{4}}$

Ця послідовність примітна тим, що в ній присутнє кожне ціле число — навіть нуль, якщо враховувати порожню часткову суму — і таким чином множина значень членів цієї послідовності є зліченною. Ця послідовність часткових сум показує, що ряд не сходиться ні до якого конкретного числа (для будь-якого x можна знайти член, після якого всі наступні часткові суми будуть перебувати за межами інтервалу $[x-1,x+1]$), отже, ряд розходиться.

Узагальнена сума

Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як «парадоксальний»:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

Математичний метод, який би дозволив інтерпретувати цей вираз, було розроблено набагато пізніше. Починаючи з 1890 року, Ернесто Чезаро, Еміль Борель та інші математики строго сформулювали методи отримання узагальнених сум розбіжних рядів, а також доповнили ідеї Ейлера новими інтерпретаціями. Більшість з цих методів для суми ряду дають результат послідовності 1 − 2 + 3 − 4 + …, що дорівнює ¹⁄₄. Підсумовування за Чезаро не дає змоги визначити суму ряду 1 − 2 + 3 − 4 + …. Таким чином, щоб отримати якусь узагальнену суму для цього ряду потрібен інший підхід, наприклад, застосування підсумовування методом Абеля.

Література

• Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
• Davis, Harry F. (May 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
• Euler, Leonhard; Willis, Lucas; Osler, Thomas J. (2006). Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. Процитовано 2007-03-22.  Originally published as Euler, Leonhard (1768). Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 17: 83–106. 
• Ferraro, Giovanni (June 1999). The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. Archive for History of Exact Sciences 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0. 
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. xvi+396. ISBN 978-0-8218-2649-2. LCCN 49005496. MR 0030620. OCLC 808787.  2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. ISBN 0-8284-0334-1.
• Kline, Morris (November 1983). Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371. 
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0-674-92096-1. 
• Saichev, A.I.; Woyczyński, W.A. (1996). Distributions in the Physical and Engineering Sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. 
• Tucciarone, John (January 1973). The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. Archive for History of Exact Sciences 10 (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0-387-00836-5. 
• Weidlich, John E. (June 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.