4-тензор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

4-тензор — математичний об'єкт, який використовується для опису поля в релятивістській фізиці, тензор, визначений у чотиривимірному просторі-часі, повороти системи відліку в якому включають як звичні повороти тривимірного простору, так і перехід між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої.

У загальному випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:

При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються за законом[1]

,

де матриця повороту, — обернена їй.

Верхні індекси називаються контраваріантними, нижні — коваріантними. Сумарне число індексів задає ранг тензора. 4-вектор є 4-тензором першого рангу.

Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантних і контраваріантних індексів вважаються спорідненими (дуальними). Опускання чи піднімання індекса здійснюється за допомогою метричного тензора , наприклад для 4-тензора другого рангу

Приклади[ред.ред. код]

Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.

Тензор електромагнітного поля[ред.ред. код]

Докладніше у статті Тензор електромагнітного поля

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

Визначення через 4-потенціал[ред.ред. код]

4-тензор визначається через похідні від 4-потенціалу[2]:

.

Визначення через тривимірні вектори[ред.ред. код]

4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості так:

Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.

Сила Лоренца[ред.ред. код]

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

,

де  — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Тут, як заведено в теорії відносності, знак суми опускається — повторення індекса внизу і вгорі означає підсумовування
  2. Формули на цій сторінці записані у системі одиниць СГСГ.