4-тензор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

4-тензор — математичний об'єкт, який використовується для опису поля в релятивістській фізиці, тензор, визначений у чотиривимірному просторі-часі, повороти системи відліку в якому включають як звичні повороти тривимірного простору, так і перехід між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої.

У загальному випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:

При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються за законом[1]

,

де матриця повороту, — обернена їй.

Верхні індекси називаються контраваріантними, нижні — коваріантними. Сумарне число індексів задає ранг тензора. 4-вектор є 4-тензором першого рангу.

Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантних і контраваріантних індексів вважаються спорідненими (дуальними). Опускання чи піднімання індекса здійснюється за допомогою метричного тензора , наприклад для 4-тензора другого рангу

Приклади[ред.ред. код]

Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.

Тензор електромагнітного поля[ред.ред. код]

Докладніше у статті Тензор електромагнітного поля

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

Визначення через 4-потенціал[ред.ред. код]

4-тензор визначається через похідні від 4-потенціалу[2]:

.

Визначення через тривимірні вектори[ред.ред. код]

4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості так:

Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.

Сила Лоренца[ред.ред. код]

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

,

де  — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Тривимірні тензори всередині чотиривимірних[ред.ред. код]

Заміна просторових координат[ред.ред. код]

Якщо робити обчислення компонент тензора в довільній рухомій системі координат, про яку було сказано в попередньому пункті, то важко буде порівнювати результати з експериментом, адже зручно розглядати лише інерційні системи координат, або близькі до інерційних (згідно з принципом еквівалентності гравітація еквівалентна силам інерції, тому в умовах сильного гравітаційного поля глобальної інерційної системи не існує).

У цій приблизно інерційній системі координат вісь часу сприймається окремо від простору, і ми можемо розглядати такі заміни координат (наприклад перехід від прямокутної декартової у сферичну систему координат), де час залишається незмінним, а просторові координати однієї системи виражаються через просторові координати іншої, і не залежать від часу:

матриці переходу між такими системами координат мають блочно-діагональний вигляд, а саме:

дійсно, із першого рівняння (4) маємо:

а з решти трьох рівнянь (4) маємо:

Такі ж міркування справедливі і для оберненої матриці , якщо врахувати, що система рівнянь, обернена до (4) має точно такий самий вигляд.

Поділ компонент чотиривимірних тензорів на групи[ред.ред. код]

Розглянемо для прикладу тензор третього рангу . Поглянемо, як змінюється його нульова компонента при заміні просторових координат (4):

в цих перетвореннях ми врахували спочатку формулу (8) (при ) чим відсіяли нульові доданки, а потім фомулу (6).

Як бачимо з формули (9), нульова компонента довільного тензора залишається незмінною при перетвореннях (4), тобто є тривимірним скаляром. Тепер звернемося до компонент тензора з одним "просторовим" індексом :

тобто ця сукупність компонент 4-тензора поводиться як тривимірний вектор. Також тривимірним вектором буде , цей вектор може відрізнятися від щойно розглянутого, якщо 4-тензор був несиметричний по останніх двох індексах. Аналогічно маємо, що є просторовим тензором другого рангу, а - просторовим тензором третього рангу.

Треба зазначити, що можна виділяти тривимірні тензори як з коваріантних, так і з контраваріантних компонент 4-тензора. Результат ми одержимо різний. Чому це так, стане ясно після розгляду метрики простору-часу і деяких простих геометричних міркувань.

Просторові компоненти метричного тензора[ред.ред. код]

Розглянемо компоненти метричного тензора . Згідно з попереднім пунктом, з цих 16-ти компонент можна виділити один тривимірний скаляр , один тривимірний вектор та один тривимірний симетричний тензор, який ми візьмемо зі знаком мінус: . Тоді матриця метричного тензора простору-часу запишеться так:

Вияснимо фізичний зміст тривимірного тензора . Для цього розглянемо тривимірний підпростір (в 4-вимірному просторі-часі) у фіксований момент часу . Цей підпростір є деякою (в загальному випадку кривою) гіперповерхнею 4-вимірного простору. Квадрат відстані між двома сусідніми точками цієї гіперповерхні () є додатня величина, що дорівнює взятому зі знаком мінус просторво-часовому інтервалу:

Як видно з останньої формули, є тривимірним метричним тензором.

Скаляр очевидно задає масштаб часу (спільний для всіх систем координат, які повязані з даною перетвореннями (4)). Вектор є мірою неортогональності вибраної осі часу щодо просторових координат. Це проявляється в тому, що обчислення координати швидкості світла дає різний результат в напрямку вектора і в протилежному напрямку. А саме, розглянемо дві близькі точки простору-часу, які належать траєкторії світла. Просторово-часовий інтервал між цими точками дорівнює нулю:

Позначимо компоненти швидкості світла , і поділимо (13) на . Останній доданок (13) дасть очевидно квадрат швидкості світла (згортка вектора з метричним тензором), а другий доданок - скалярний добуток швидкості світла на вектор . Маємо:

Зробивши заміну просторових координат, направимо вісь абсцис вздовж вектора і перейдемо до проекції на цю вісь, яка може бути додатньою або від'ємною. Для знаходження проекції маємо квадратне рівняння:

звідки маємо два розвязки для руху світла в протилежних напрямках:

Модулі цих величин різні, якщо .

Цікаво також поглянути на викривлений фізичний простір-час, аналогічно до того, як це робится в диференціальній геометрії, уявивши його вміщеним у гіпотетичний плоский псевдоевклідовий простір достатньо великої розмірності . Радіус-вектор в цьому охоплюючому просторі позначимо . Тоді фізичний простір-час задається параметрично:

а тривимірний простір всередині 4-вимірного одержується поклавши в (17) . Тобто маємо такий тривимірний многовид, залежний від трьох параметрів:

Координатні (N-вимірні!) вектори в обох випадках даються формулами:

ці величини, очевидно, збігаються при просторових значеннях індекса (). Метричний тензор обчислюється через псевдоевклідовий скалярний добуток цих векторів:

Просторові компоненти 4-вектора[ред.ред. код]

Образ контраваріантного 4-вектора в охоплюючому псевдоевклідовому просторі дорівнює:

Якщо в цьому векторі ми виділимо просторову частину , то її образом буде інший вектор охоплюючого простору:

який очевидно є (неортогональною) проекцією вектора на тривимірний підпростір паралельно осі часу .

Розглянемо тепер коваріантні компоненти цього самого вектора . Ці компоненти є коефіцієнтами при розкладанні вектора по дуальному базису :

Перший доданок у формулі (24) ортогональний до кожного з трьох векторів , а тому відкиднувши його, ми здіснимо ортогональну проекцію вектора на тривимірну гіперповерхню.

Диференціювання[ред.ред. код]

Найпростіше обчислюються тривимірні символи Крістофеля першого роду (з усіма нижніми індексами), оскільки згідно з формулою (11) просторові компоненти чотиривимірного метричного тензора дорівнюють зі знаком мінус компонентам тривимірного метричного тензора :

Вже для символів Крістофеля другого роду:

співвідношення між тривимірними і чотиривимірними величинами виявляється набагато складнішим, оскільки обернена до (11) матриця має такий доволі складний вигляд:

В цій формулі позначено: - тривимірна матриця, обернена до ; - контраваріантні компоненти тривимірного вектора ; і коефіцієнт

Також, в загальному випадку, складні вирази одержуються між тензорами кривини і лапласіанами (операторами Лапласа-Бельтрамі). Але у випадку плоского простору Мінковського ми маємо просту формулу для лапласіанів. Лапласіан чотиривимірного простору, який називається оператором Даламбера і позначається квадратиком , дорівнює:

де через дельту позначено лапласіан тривимірного простору.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Тут, як заведено в теорії відносності, знак суми опускається — повторення індекса внизу і вгорі означає підсумовування
  2. Формули на цій сторінці записані у системі одиниць СГСГ.