4-швидкість

У фізиці, зокрема в спеціальній і загальній теоріях відносності, 4-швидкість (або чотиришвидкість) — 4-вектор у чотиривимірному просторі-часі, релятивістський аналог швидкості, яка є тривимірним вектором у просторі.

Фізичні події відповідають математичним точкам у часі та просторі, сукупність яких разом утворює математичну модель фізичного чотиривимірного простору-часу. Історія об'єкта відстежує криву в просторі-часі, називану його світовою лінією. Якщо об'єкт має масу, а отже його швидкість обов'язково менша за швидкість світла, світову лінію можна параметризувати власним часом об'єкта. 4-швидкість — це швидкість зміни 4-положення відносно власного часу вздовж кривої. Швидкість, навпаки, — це швидкість зміни положення об'єкта в (тривимірному) просторі, як його бачить спостерігач, відносно часу спостерігача.

Величина 4-швидкості об'єкта, тобто величина, отримана застосуванням метричного тензора g до 4-швидкості U, тобто $\lVert {\mathbf {U}}\rVert ^{2}={\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}=g_{\mu \gamma }U^{\gamma }U^{\mu }$, завжди дорівнює ±c², де c — швидкість світла. Застосування знака плюс чи мінус залежить від вибору метричної сигнатури. Для нерухомого об'єкта його 4-швидкість паралельна напрямку координати часу з U⁰ = c. Отже, 4-швидкість — нормалізований напрямлений у майбутнє часоподібний дотичний вектор до світової лінії та є контраваріантний вектор. Хоча це вектор, додавання двох 4-швидкостей не дає 4-швидкості: простір 4-швидкостей сам по собі не є векторним простором.

Швидкість

Шлях об'єкта в тривимірному просторі (в інерційній системі відліку) можна виразити через три функції просторової координати xⁱ(t) від часу t, де i — індекс, який набуває значень 1, 2, 3.

Три координати утворюють тривимірний радіус-вектор, який можна записати як вектор-стовпець

$${\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\[0.7ex]x^{2}(t)\\[0.7ex]x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.$$

Складові швидкості ${\vec {u}}$ (дотичної до кривої) в будь-якій точці світової лінії дорівнюють

$${\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.$$

Кожна складова записується просто

$$u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}$$

Теорія відносності

У теорії відносності Ейнштейна шлях об'єкта, що рухається відносно певної системи відліку, визначають чотири функції координат x^μ(τ), де μ — індекс простору-часу, який має значення 0 для часоподібної складової, та 1, 2, 3 для простороподібних координат. Нульова складова визначається як часова координата, помножена на c,

$$x^{0}=ct\,,$$

Кожна функція залежить від одного параметра τ, який називають її власним часом. Як вектор-стовпець:

$$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.$$

Уповільнення часу

З уповільненням часу диференціали координатного часу t і власного часу τ пов'язані між собою

$$dt=\gamma (u)d\tau$$

де фактор Лоренца ,

$$\gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,$$

є функцією евклідової норми u тривимірного вектора швидкості ${\vec {u}}$:

$$u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.$$

Визначення 4-швидкості

4-швидкість — 4-вектор, дотичний до часоподібної світової лінії. 4-швидкість $\mathbf {U}$ в будь-якій точці світової лінії $\mathbf {X} (\tau )$ визначається як:

$$\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}$$

де $\mathbf {X}$ — 4-положення, $\tau$ — власнний час.

4-швидкість, визначена тут за допомогою власного часу об'єкта, не існує для світових ліній безмасових об'єктів, таких як фотони, що рухаються зі швидкістю світла; також її не визначено для тахіонних світових ліній, де дотичний вектор простороподібний.

Складові 4-швидкості

Зв'язок між часом t і часовою координатою x⁰ визначається формулою

$$x^{0}=ct.$$

Взявши похідну від за власним часом τ, знаходимо складову швидкості U^μ для μ = 0:

$$U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)$$

і для інших 3 складових за власним часом отримуємо складові швидкості U^μ для μ = 1, 2, 3:

$$U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}$$

де ми використали правило диференціювання складеної функції та зв'язки

$$u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)$$

Таким чином, знаходимо для 4-швидкості $\mathbf {U}$:

$$\mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.$$

У стандартній 4-векторній нотації це:

$$\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)$$

де $\gamma c$ — часова складова, $\gamma {\vec {u}}$ — просторова складова.

З точки зору синхронізованих годинників і лінійок, пов'язаних із певною ділянкою плоского простору-часу, три простороподібні складові 4-швидкості визначають власну швидкість рухомого об'єкта $\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau$, тобто швидкість, з якою відстань долається в еталонній системі відліку за одиницю власного часу, що минув на годиннику, який рухається з об'єктом.

На відміну від більшості інших 4-векторів, 4-швидкість має не 4, а лише 3 незалежні складові $u_{x},u_{y},u_{z}$. Коефіцієнт $\gamma$ є функцією тривимірної швидкості ${\vec {u}}$.

Коли деякий скаляр Лоренца помножити на 4-швидкість, то отримаємо новий фізичний 4-вектор, який має 4 незалежні складові.

Наприклад:

• 4-імпульс:

${\mathbf {P}}=m_{0}{\mathbf {U}}=\gamma m_{0}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),$

де $m_{o}$ — маса спокою

• Густина 4-струму:

${\mathbf {J}}=\rho _{0}{\mathbf {U}}=\gamma \rho _{0}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right)$

Фактично, коефіцієнт $\gamma$ поєднується зі скалярним членом Лоренца і утворює 4-ту незалежну складову

$$m=\gamma m_{o}$$

і

$$\rho =\gamma \rho _{o}.$$

Величина

Використовуючи диференціал 4-положення в системі спокою, за допомогою метрики Мінковського зі сигнатурою (−, +, +, +) можна отримати величину 4-швидкості:

$$\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,$$

Коротше кажучи, величина 4-швидкості будь-якого об'єкта завжди є фіксованою сталою:

$$\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}$$

У рухомій системі відліку така сама норма:

$$\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),$$

так що:

$$-c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),$$

що зводиться до визначення фактора Лоренца.

Див. також

• 4-прискорення
• 4-імпульс
• 4-сила
• Алгебра фізичного простору
• Гіперболоїдна модель
• Стрімкість

Виноски

Коментарі

Примітки

Література

• Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.