У теорії чисел кармайклове число це додатне складене число n, що задовольняє умову
для всіх цілих b, взаємно простих з n.
Названі в честь американського математика Роберта Кармайкла, що у 1910 році знайшов перше і найменше таке число, 561.
Загальне уявлення
Мала теорема Ферма стверджує, що будь-яке просте число задовольняє вище вказану властивість. У цьому сенсі числа Кармайкла подібні простим. Тому вони називаються псевдопростими числами.
Еквівалентне визначення чисел Кармайкла дає критерій Корсельта.
Теорема (Корсельт, 1899) : Складене число n є числом Кармайкла тоді і тільки тоді, коли n вільне від квадратів і для всіх простих дільників p числа n вірно p − 1 | n − 1 (позначення а | b означає, що а ділить b).
З цієї теореми випливає, що всі числа Кармайкла непарні, оскільки будь-яке парне складене число, вільне від квадратів, має принаймні одного непарного простого дільника, і тому з p − 1 | n − 1 випливає, що парне ділить непарне, що невірно - суперечність.
Такі числа Кармайкла:
![{\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17\qquad (4\mid 1104;12\mid 1104;16\mid 1104)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e972eabff2a66ae0e7d8b5c082be061e420677)
![{\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19\qquad (6\mid 1728;12\mid 1728;18\mid 1728)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff440d5fbc32c9914eb6416017c6a46c7d6b4728)
![{\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29\qquad (4\mid 2464;16\mid 2464;28\mid 2464)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee9eaa903fa812861ea3a718de1a13694907a1f)
![{\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31\qquad (6\mid 2820;12\mid 2820;30\mid 2820)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e16e80f4e0df36582c80128d5179b5b11adc31b)
![{\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41\qquad (6\mid 6600;22\mid 6600;40\mid 6600)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a1069ed9da842b686fb891aee6123dff9e83b0)
![{\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67\qquad (6\mid 8910;18\mid 8910;66\mid 8910).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a4e00cc126371fc62452dc36170153408af0e3)
У 1994 році Альфорс, Ґренвіл і Померанс довели, що для достатньо великих чисел n кількість чисел Кармайкла, що не перевищують n є не меншою n2 / 7. Звідси зокрема випливає нескінченність множини цих чисел.
Властивості
Числа Кармайкла мають щонайменше три прості додатні множники. Нижче подані найменші такі числа з
простими множниками:
k |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
Перші числа Кармайкла з чотирма простими множниками:
i |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
Розподіл
Нехай
позначає кількість чисел Кармайкла, менших за
. Ердеш довів у 1956 році, що
![{\displaystyle C(X)<X\exp {\frac {-k\log {X}\log {\log {\log {X}}}}{\log {\log {X}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15067327b4c2cb8f7a3290ebdcb069b0986cf810)
для деякої константи
;
У наступній таблиці наведені наближені значення цієї константи:
n |
k
|
104 |
2.19547
|
106 |
1.97946
|
108 |
1.90495
|
1010 |
1.86870
|
1012 |
1.86377
|
1014 |
1.86293
|
1016 |
1.86406
|
1018 |
1.86522
|
1020 |
1.86598
|
Цікаві факти
Друге число Кармайкла (1105) може бути подане як сума двох квадратів більшою кількістю способів, ніж будь-яке менше число. Третє число Кармайкла (1729) є числом Рамануджана — Харді (найменше число, що можна записати у вигляді суми двох кубів двома способами).
Джерела
- Chernick, J. (1935). On Fermat's simple theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 269–274.
- Ribenboim, Paolo (1996). The New Book of Prime Number Records.
- Löh, Günter and Niebuhr, Wolfgang (1996). A new algorithm for constructing large Carmichael numbers(pdf)
- Korselt (1899). Problème chinois. L'intermédiaire des mathématiciens, 6, 142–143.
- Carmichael, R. D. (1912) On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence
. Am. Math. Month. 19 22–27.
- Erdős, Paul (1956). On pseudoprimes and Carmichael numbers, Publ. Math. Debrecen 4, 201 –206.