Нерівність Коші—Шварца (Коші-Шварца ; англ. Cauchy–Schwarz inequality , англ. Cauchy–Schwarz–inequality ) — нерівність , що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору .
Еквівалентно нерівності трикутника для норми в просторі зі скалярним добутком .
Знаходить застосування в лінійній алгебрі для векторів , в математичному аналізі для нескінченних рядів та інтегрування добутків та в теорії ймовірностей при застосуванні до варіації та коваріації .
Нерівність для сум було опубліковано Оґюстеном Коші (1821 ) (тому цей випадок називають — Нерівність Коші ), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована Віктором Буняковським (1859 ) та вдруге відкрита Германом Шварцем (1888 ).
Формулювання
Загальний випадок
Для довільних векторів
x
{\displaystyle \ x}
,
y
{\displaystyle \ y}
із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:
|
⟨
x
,
y
⟩
|
2
≤
⟨
x
,
x
⟩
⋅
⟨
y
,
y
⟩
{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }
,
де
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
— операція скалярного добутку , а
|
⋅
|
{\displaystyle \ |\cdot |}
— модуль числа .
Якщо означити норму , то нерівність можна записати як:
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|}
.
Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори
x
{\displaystyle \ x}
,
y
{\displaystyle \ y}
лінійно залежні .
Частинні випадки
Лінійний простір
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Скалярний добуток векторів
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
x
n
)
{\displaystyle \ x=(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}
і
y
=
(
y
1
,
y
2
,
…
y
n
)
{\displaystyle \ y=(y_{1},y_{2},\ldots y_{n})}
означимо за формулою
⟨
x
,
y
⟩
=
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}
,
тоді отримаємо, що для дійсних чисел
x
1
,
x
2
,
…
x
n
,
y
1
,
y
2
,
…
y
n
{\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots x_{n},y_{1},y_{2},\ldots y_{n}}
виконується нерівність
(
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
)
2
≤
(
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
(
∑
i
=
1
n
y
i
2
)
.
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).}
у заданій формі нерівність Коші-Шварца часто використовується на математичних олімпіадах .
Лінійний простір
C
[
a
;
b
]
{\displaystyle \ C[a;b]}
C
[
a
;
b
]
{\displaystyle \ C[a;b]}
— лінійний простір неперервних на відрізку
C
[
a
;
b
]
{\displaystyle \ C[a;b]}
функцій.
Скалярний добуток для функцій
f
(
x
)
,
g
(
x
)
∈
C
[
a
;
b
]
{\displaystyle \ f(x),g(x)\in C[a;b]}
означимо через
⟨
f
(
x
)
,
g
(
x
)
⟩
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f(x),g(x)\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}
, то виконуватиметься нерівність
|
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
|
2
≤
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
2
d
x
⋅
∫
a
b
|
g
(
x
)
|
2
d
x
.
{\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \limits _{a}^{b}\left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \limits _{a}^{b}\left|g(x)\right|^{2}\,dx.}
Доведення
Загальний випадок
Для довільного
λ
∈
R
.
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} .}
Розглянемо скалярний квадрат вектора
x
+
λ
y
{\displaystyle \ x+\lambda y}
:
0
≤
⟨
x
+
λ
y
,
x
+
λ
y
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
+
2
λ
⟨
x
,
y
⟩
+
λ
2
⟨
y
,
y
⟩
{\displaystyle 0\leq \langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle +2\lambda \langle x,y\rangle +\lambda ^{2}\langle y,y\rangle }
Отримуємо квадратичну нерівність
λ
2
‖
y
‖
2
+
2
λ
⟨
x
,
y
⟩
+
‖
x
‖
2
≥
0
{\displaystyle \lambda ^{2}\|y\|^{2}+2\lambda \langle x,y\rangle +\|x\|^{2}\geq 0}
для всіх
λ
∈
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
. Це можливо, тоді і тільки тоді , коли її дискримінант
4
⟨
x
,
y
⟩
2
−
4
‖
x
‖
2
‖
y
‖
2
{\displaystyle 4\langle x,y\rangle ^{2}-4\|x\|^{2}\|y\|^{2}}
не більший від нуля.
Звідки отримуємо
⟨
x
,
y
⟩
≤
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
{\displaystyle \langle x,y\rangle \leq \|x\|\cdot \|y\|}
.
Частинний випадок
Лінійний простір
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
В лінійному просторі
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
з введеним скалярним добутком
⟨
x
,
y
⟩
=
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}
нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
x
i
y
j
−
x
j
y
i
)
2
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
∑
j
=
1
n
y
j
2
+
∑
j
=
1
n
x
j
2
∑
i
=
1
n
y
i
2
−
2
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
∑
j
=
1
n
x
j
y
j
{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{j=1}^{n}y_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}}
або після зведення однакових доданків
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
x
i
y
j
−
x
j
y
i
)
2
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
∑
i
=
1
n
y
i
2
−
(
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
)
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}.}
Оскільки ліва частина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Шварца в лінійному просторі
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
∑
i
=
1
n
x
i
2
∑
i
=
1
n
y
i
2
−
(
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
)
2
≥
0.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\geq 0.}
Найвідоміші застосування нерівності Коші-Буняковського
‖
x
+
y
‖
2
=
⟨
x
+
y
,
x
+
y
⟩
=
‖
x
‖
2
+
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
y
,
x
⟩
+
‖
y
‖
2
≤
‖
x
‖
2
+
2
|
⟨
x
,
y
⟩
|
+
‖
y
‖
2
≤
‖
x
‖
2
+
2
‖
x
‖
‖
y
‖
+
‖
y
‖
2
=
(
‖
x
‖
+
‖
y
‖
)
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2},\end{aligned}}}
добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника .
Математичні олімпіади
На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
:
для додатних дійсних
a
1
,
a
2
,
…
a
n
,
b
1
,
b
2
…
b
n
{\displaystyle \ a_{1},a_{2},\ldots a_{n},b_{1},b_{2}\ldots b_{n}}
a
1
2
b
1
+
a
2
2
b
2
+
…
+
a
n
2
b
n
≥
(
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
)
2
b
1
+
b
2
+
…
+
b
n
.
{\displaystyle {\dfrac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\dfrac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\ldots +{\dfrac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\dfrac {(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}}.}
Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Шварца, якщо покласти
x
i
=
a
i
2
b
i
,
y
i
=
b
i
{\displaystyle x_{i}={\sqrt {\dfrac {a_{i}^{2}}{b_{i}}}},\quad y_{i}={\sqrt {b_{i}}}}
.
Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта :
з нерівностей Коші-Шварца і трьох квадратів отримуємо:
a
2
a
(
b
+
c
)
+
b
2
b
(
a
+
c
)
+
c
2
c
(
a
+
b
)
≥
(
a
+
b
+
c
)
2
2
(
a
b
+
b
c
+
a
c
)
≥
3
2
,
{\displaystyle {\dfrac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\dfrac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\dfrac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\dfrac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\dfrac {3}{2}},}
з чого негайно слідує нерівність Несбіта.
Джерела
Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства . Москва: Мир.
В. І. Андрійчук, Б. В. Забавський (2008). Лінійна алгебра . Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. ISBN 978-966-613-623-0 .
Див. також