Інтегральний синус

Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]

Інтегральний синус — функція, визначена формулою:

$\operatorname {Si} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin \,t}{t}}dt$

Визначається також функція: $\operatorname {si} x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\operatorname {Si} x-{\frac {\pi }{2}}$

Часткові значення: $\operatorname {Si} 0=0,\quad \lim \limits _{x\rightarrow \infty }\operatorname {Si} x={\frac {\pi }{2}},\quad \lim \limits _{x\rightarrow \infty }\operatorname {si} x=0$.

Інтегральний синус було введено Лоренцо Маскероні в 1790 році.

Властивості

• Інтегральний синус — непарна функція:

$\operatorname {Si} (-x)=-\,\operatorname {Si} x$

• $\operatorname {si} x+\operatorname {si} (-x)=-\pi$
• Інтегральний синус пов'язаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:

$\operatorname {si} x={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Ei} (ix)-\operatorname {Ei} (-ix)\right)$

• Для малих x $\operatorname {Si} x\approx x$
• З деякими іншими функціями інтегральний синус пов'язаний співвідношеннями:

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{pt}\operatorname {si} (qt)dt=-{\frac {1}{p}}\operatorname {arctg} {\frac {p}{q}},\quad \int \limits _{0}^{\infty }\operatorname {si} ^{2}t\,dt={\frac {\pi }{2}},$

$\int \limits _{0}^{\infty }\sin t\,\operatorname {si} t\,dt=-{\frac {\pi }{4}},\quad \int \limits _{0}^{\infty }\operatorname {Ci} t\operatorname {si} t\,dt=-\ln 2.$

• Інтегральний синус задовольняє лінійне диференційне рівняння третього порядку

$xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x)=0.$

Розклад у ряд

Інтегральний синус можна розкласти в ряд:

$\operatorname {Si} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!(2n+1)}}x^{2n+1}.$

За допомогою даного ряду визначається також інтегральний синус від комплексного аргументу.

Асимптотичний розклад для $~\operatorname {Re} x\gg 1~$ задається розбіжним рядом:

$\operatorname {Si} x={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)$

Див. також

• Інтегральний косинус
• Інтегральний логарифм
• Інтегральна показникова функція

Джерела

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.