Визначникова тотожність Сильвестра
У теорії матриць, визначникова тотожність Сильвестра — це тотожність корисна для обчислення певних типів визначників. Її назвали на честь Джеймса Джозефа Сильвестра, який навів цю тотожність без доведення у 1851.[1]
Тотожність стверджує, що якщо A і B є матрицями розмірів m × n і n × m відповідно, тоді
де Ia — одинична матриця порядку a.[2][3]
Це визначниковий аналог матричної тотожності Вудбурі.
Доведення
Тотожність можна довести таким чином.[4] Нехай M буде матрицею, що складається з чотирьох блоків Im, −A, B і In:
- .
Оскільки Im є оборотною, формула визначника блокової матриці дає
- .
Оскільки In є оборотною, формула визначника блокової матриці дає
- .
Отже,
- .
Примітки
- ↑ Sylvester, James Joseph (1851). On the relation between the minor determinants of linearly equivalent quadratic functions. Philosophical Magazine. 1: 295—305.
Процитовано в Akritas, A. G.; Akritas, E. K.; Malaschonok, G. I. (1996). Various proofs of Sylvester's (determinant) identity. Mathematics and Computers in Simulation. 42 (4–6): 585. doi:10.1016/S0378-4754(96)00035-3. - ↑ Harville, David A. (2008). Matrix algebra from a statistician's perspective. Berlin: Springer. ISBN 0-387-78356-3. page 416
- ↑ Weisstein, Eric W. Sylvester's Determinant Identity. MathWorld--A Wolfram Web Resource. Процитовано 3 березня 2012.
- ↑ Pozrikidis, C. (2014), An Introduction to Grids, Graphs, and Networks, Oxford University Press, с. 271, ISBN 9780199996735