Визначникова тотожність Сильвестра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У теорії матриць, визначникова тотожність Сильвестра — це тотожність корисна для обчислення певних типів визначників. Її назвали на честь Джеймса Джозефа Сильвестра, який навів цю тотожність без доведення у 1851.[1]

Тотожність стверджує, що якщо A і B є матрицями розмірів m × n і n × m відповідно, тоді

де Ia — одинична матриця порядку a.[2][3]

Це визначниковий аналог матричної тотожності Вудбурі.

Доведення

Тотожність можна довести таким чином.[4] Нехай M буде матрицею, що складається з чотирьох блоків Im, A, B і In:

.

Оскільки Im є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

.

Оскільки In є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

.

Отже,

.

Примітки

  1. Sylvester, James Joseph (1851). On the relation between the minor determinants of linearly equivalent quadratic functions. Philosophical Magazine. 1: 295—305.
    Процитовано в Akritas, A. G.; Akritas, E. K.; Malaschonok, G. I. (1996). Various proofs of Sylvester's (determinant) identity. Mathematics and Computers in Simulation. 42 (4–6): 585. doi:10.1016/S0378-4754(96)00035-3.
  2. Harville, David A. (2008). Matrix algebra from a statistician's perspective. Berlin: Springer. ISBN 0-387-78356-3. page 416
  3. Weisstein, Eric W. Sylvester's Determinant Identity. MathWorld--A Wolfram Web Resource. Процитовано 3 березня 2012.
  4. Pozrikidis, C. (2014), An Introduction to Grids, Graphs, and Networks, Oxford University Press, с. 271, ISBN 9780199996735