Діедрична група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ця сніжинка має діедральну симетрію правильного шестикутника

В математиці, діедральна група це група симетрій правильного багатокутника, яка включає обертання та відбиття.[1] Діедральна група один з найпростіших прикладів скінченних груп, і вони відіграють важливу роль в теорії груп, геометрії та хімії.

Види запису

Існують два види запису діедральних груп пов'язаних із багатокутником з n сторонами. У геометрії група записується Dn, тоді як алгебрі та сама група позначається D2n з метою вказання кількості елементів.

У цій статті, Dn (і іноді Dihn) посилається на симетрії правильного багатокутника з n сторонами.

Визначення

Елементи

Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедральну групу Dn. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежну вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. Наступне зображення показує 16 елементів групи D8 для знаку «Stop»:

Перший рядок показує ефект восьми обертань, другий — восьми відбиттів.

Структура групи

Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.

Поєднання двох відбиттів дає обертання

Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D3 (симетрій правильного трикутника). R0 позначає тотжність; R1 і R2 позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S0, S1, і S2 позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.

R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0

Наприклад, S2S1 = R1 бо відбиття S1 із наступним відбиттям S2 утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.

Загалом, група Dn має елементи R0,...,Rn−1 і S0,...,Sn−1, з композиціями заданими такими формулами:

В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.

Матричне представлення

Симетрії п'ятикутника є лінійними відображеннями.

Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедральної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи Dn у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.

Наприклад, елементи групи D4 можуть бути представлені такими вісьмома матрицями:

Загалом, матрицями для елементів з Dn мають такий вигляд:

Rk — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πkn. Sk — відбиття через лінію утворену кутом πkn з віссю x.

Малі діедральні групи

Циклічний граф Dih4
a — поворот за годинниковою стрілкою
і b — горизонтальне відбиття.

Для n = 1 ми маємо Dih1. Такий запис рідко використовується, хіба для рядів, по це дорівнює Z2. Для n = 2 маємо Dih2, 4-група Клейна. Це два винятки з усієї серії:

Циклічні графи діедральних груп містять n-елементний цикл і n 2-елементних циклів. Темна вершина в циклічних графах різних діедральних груп знизу вказує на тотожний елемент, а інші вершини це інші елементи групи. Цикл містить послідовні ступені елементів зв'язаних з нейтральним елементом.

Циклічні графи
Dih1 = Z2 Dih2 = Z22 = K4 Dih3 Dih4 Dih5
Dih6 = Dih3×Z2 Dih7 Dih8 Dih9 Dih10 = Dih5×Z2

Див. також

Примітки

  1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.