Діедрична група
В математиці, діедральна група це група симетрій правильного багатокутника, яка включає обертання та відбиття.[1] Діедральна група один з найпростіших прикладів скінченних груп, і вони відіграють важливу роль в теорії груп, геометрії та хімії.
Види запису
Існують два види запису діедральних груп пов'язаних із багатокутником з n сторонами. У геометрії група записується Dn, тоді як алгебрі та сама група позначається D2n з метою вказання кількості елементів.
У цій статті, Dn (і іноді Dihn) посилається на симетрії правильного багатокутника з n сторонами.
Визначення
Елементи
Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедральну групу Dn. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежну вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. Наступне зображення показує 16 елементів групи D8 для знаку «Stop»:
Перший рядок показує ефект восьми обертань, другий — восьми відбиттів.
Структура групи
Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.
Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D3 (симетрій правильного трикутника). R0 позначає тотжність; R1 і R2 позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S0, S1, і S2 позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.
R0 | R1 | R2 | S0 | S1 | S2 | |
---|---|---|---|---|---|---|
R0 | R0 | R1 | R2 | S0 | S1 | S2 |
R1 | R1 | R2 | R0 | S1 | S2 | S0 |
R2 | R2 | R0 | R1 | S2 | S0 | S1 |
S0 | S0 | S2 | S1 | R0 | R2 | R1 |
S1 | S1 | S0 | S2 | R1 | R0 | R2 |
S2 | S2 | S1 | S0 | R2 | R1 | R0 |
Наприклад, S2S1 = R1 бо відбиття S1 із наступним відбиттям S2 утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.
Загалом, група Dn має елементи R0,...,Rn−1 і S0,...,Sn−1, з композиціями заданими такими формулами:
В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.
Матричне представлення
Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедральної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи Dn у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.
Наприклад, елементи групи D4 можуть бути представлені такими вісьмома матрицями:
Загалом, матрицями для елементів з Dn мають такий вигляд:
Rk — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πk ⁄ n. Sk — відбиття через лінію утворену кутом πk ⁄ n з віссю x.
Малі діедральні групи
Для n = 1 ми маємо Dih1. Такий запис рідко використовується, хіба для рядів, по це дорівнює Z2. Для n = 2 маємо Dih2, 4-група Клейна. Це два винятки з усієї серії:
- Вони абелеві; для всіх інших значень n група Dihn не абелева.
- Вони не підгрупа симетричної групи Sn, через те, що 2n > n! для цих n.
Циклічні графи діедральних груп містять n-елементний цикл і n 2-елементних циклів. Темна вершина в циклічних графах різних діедральних груп знизу вказує на тотожний елемент, а інші вершини це інші елементи групи. Цикл містить послідовні ступені елементів зв'язаних з нейтральним елементом.
Dih1 = Z2 | Dih2 = Z22 = K4 | Dih3 | Dih4 | Dih5 |
---|---|---|---|---|
Dih6 = Dih3×Z2 | Dih7 | Dih8 | Dih9 | Dih10 = Dih5×Z2 |
Див. також
Примітки
- ↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.