Зв'язність Леві-Чивіти

В рімановій геометрії, зв'язністю Леві-Чивіти називається особлива афінна зв'язність на дотичному розшаруванні (псевдо)ріманового многовиду. Дана зв'язність не має кручень і узгоджується з (псевдо)рімановою метрикою. Для кожного (псевдо)ріманового многовиду існує єдина зв'язність Леві-Чивіти, що має багато важливих властивостей і є одним з основних об'єктів вивчення у рімановій геометрії. Названа на честь італійського математика Тулліо Леві-Чивіти.

Визначення

Нехай g — псевдоріманова метрика класу $C^{k}$ на гладкому многовиді M, тобто сім'я симетричних білінійних невироджених форм g_x на дотичних просторах $T_{x}M$, таких, що для довільних векторних полів X і Y класу $C^{k}$, функція g(X,Y) належить до класу $C^{k}$. Сигнатура g є локально сталою величиною. Якщо білінійна форма g_x є додатноозначеною в кожній точці x то g називається рімановою метрикою.

Нехай $\nabla$ — афінна зв'язність, тобто оператор, що для довільних векторних полів X і Y класу $C^{k}$ однозначно визначає векторне поле $\nabla _{X}Y$ того ж класу, так що для $C^{k}$-поля $Z$ і $C^{k}$-функції $f$ виконуються умови:

${\begin{aligned}&\nabla _{X}(Y+Z)=\nabla _{X}Y+\nabla _{X}Z\\&\nabla _{X+Y}Z=\nabla _{X}Z+\nabla _{Y}Z\\&\nabla _{X}(fY)=f\nabla _{X}Y+X(f)Y\\&\nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y.\end{aligned}}$

Дана афінна зв'язність $\nabla$ називається зв'язністю Леві-Чивіти якщо вона додатково задовольняє умови :

1. $\nabla$ є зв'язністю без кручень, тобто її тензор кручення є нульовим: для всіх векторних полів $X$ і $Y$ відповідного класу,$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ ;
2. $g$ є паралельною: для всіх векторних полів $X$, $Y$ і $Z$ відповідного класу, справедливою є рівність :

$Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)$.

Одним із найважливіших результатів ріманової геометрії є твердження про існування і єдиність зв'язності Леві-Чивіти для всіх (псевдо)ріманових многовидів.

Доведення

• Єдиність : Припустимо існування зв'язності Леві-Чивіти і доведемо її єдиність. Нехай метрика g є паралельною для зв'язності Леві-Чивіти, для всіх векторних полів $X$, $Y$ і $Z$, маємо :$X\cdot g(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$,$Y\cdot g(Z,X)=g(\nabla _{Y}Z,X)+g(Z,\nabla _{Y}X)$,$Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)$.Додавши перші дві рівності і віднявши третю отримуємо :$X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).$Зважаючи на відсутність кручень, цей вираз можна спростити :$2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$.Зважаючи на невиродженість g, зв'язність $\nabla$ є однозначно визначеною у всіх випадках.
• Існування : Для всіх векторних полів X і Y на M визначимо векторне поле $\scriptstyle \nabla _{X}Y$, що є єдиним векторним полем на M, яке задовольняє вище отриману рівність :$2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$.Тоді оператор $\nabla$ є афінною зв'язністю. Справді, для всіх функцій f:$2g(\nabla _{X}(fY),Z)=X\cdot g(fY,Z)+(fY)\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,fY)+g([X,fY],Z)+g([Z,X],fY)-g([fY,Z],X)$$=df(X).g(Y,Z)-df(Z).g(X,Y)+df(X).g(Y,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla _{X}Y,Z)$$=2g(df(X).Y+f\nabla _{X}Y,Z)$$2g(\nabla _{fX}Y,Z)=(fX)\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,fX)-Z\cdot g(fX,Y)+g([fX,Y],Z)+g([Z,fX],Y)-g([Y,Z],fX)$$=df(Y).g(Z,X)-df(Z).g(X,Y)-df(Y).g(X,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla _{X}Y,Z)$$=2g(f\nabla _{X}Y,Z)$.$\nabla$ є зв'язністю без кручень:$2g(\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$$-Y\cdot g(X,Z)-X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)+g([X,Z],Y)$$=2g([X,Y],Z)$.Нарешті, g є паралельною метрикою для $\nabla$:$2g(\nabla _{X}Y,Z)+2g(Y,\nabla _{X}Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$$+X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-Y\cdot g(X,Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)$$=2X\cdot g(Y,Z)$.Тобто $\nabla$ задовольняє всі умови з визначення зв'язності Леві-Чивіти.

Запис в локальних координатах

Розглянемо тепер локальні координати $x_{1}\ldots x_{n}$ у рімановому многовиді і відповідний локальний базис у дотичних просторах $e_{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ .

Позначимо $g_{ij}=g(e_{i},e_{j})$ компоненти метричного тензора g в цьому локальному базисі. Визначені властивості зв'язності Леві-Чивіти можна подати через символи Крістоффеля $\Gamma _{ij}^{k}$, що визначаються з рівностей  :

$\nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}e_{k}$

Символи Крістофеля для  :

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{m=1}^{n}g^{km}\left({\frac {\partial g_{mi}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{m}}}\right).$

де $g^{km}$ є відповідними елементами матриці оберненої до матриці $g_{ij}$.

Див. також

• Ріманова геометрія
• Афінна зв'язність
• Ріманів многовид

Джерела

• Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press. ISBN 0-12-116052-1. (англ.)
• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J., ISBN 0442034105 (англ.)
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume II). Publish or Perish Press. ISBN 0-914098-71-3. (англ.)